近日，南京理工大学吴迎副教授联合北京理工大学李锋与周迪教授团队、英国曼切斯特大学Robert-Jan Slager教授团队首次在单一的二维弹性超材料中实现了混合拓扑Euler和Stiefel-Whitney相。相关工作以Hybrid Topological Euler and Stiefel-Whitney Phases in elastic Metamaterials为题发表在物理学顶级期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters）上。吴迎、李锋、周迪和Robert-Jan Slager为论文的共同通讯作者，北京理工大学博士生唐际杰和北欧理论物理研究所的Adrien Bouhon为本文的共同第一作者，南京理工大学研究生沈悦、王凯伦和北京理工大学博士生冯俊荣也做出了重要贡献。
近年来，多带隙拓扑的研究表明，成组的能带（即多能带子空间）可以用新型的拓扑不变量来描述，且这类拓扑不变量能够通过动量空间中能带简并的编织行为进行调控。对于具有时空反演对称性
的无自旋系统，其Bloch波函数为实值，这使得整数型Euler类
可对具有两个能带的“两能级子空间”进行拓扑分类。而对于多能级系统所构成的能带子空间，则需要通过第二Stiefel-Whitney类的拓扑数
对“多能级子空间”进行拓扑分类，相关拓扑数则对应一个
单极电荷。在晶体系统中，任意两能带子空间如果具有奇数的
，则当引入平庸能带后，该子空间会转变为满足
的多能带子空间，最终形成由手性对称性诱导出高阶角态的二维Stiefel-Whitney类拓扑绝缘体。
迄今为止，多能隙拓扑的实验已经在经典波体系中取得了显著突破，但主要集中在标量波（例如声波）超材料领域。与之相比，矢量波（例如弹性波）系统具有更高的灵活性与实用性，在工程应用中具备重要潜力。然而，科研人员在设计具有矢量波特性的弹性超材料时，为了便于分析材料的拓扑特性，通常会刻意规避模态间的相互耦合，从而把矢量波简化为标量波问题，这也导致弹性系统中完整的矢量特性至今未能得到充分挖掘。拓扑Euler相和Stiefel-Whitney相虽然能分别存在于不同的标量波超材料中，实现新奇的标量波拓扑性质。基于以上背景，一个关键的问题就是：Euler相、Stiefel-Whitney相乃至它们的混合拓扑相，能否在单一的矢量弹性波系统中实现呢？
如果能实现，不仅具有理论创新性，更将在工程应用上打开一扇大门，有望直接应用于振动控制、无损检测等实际领域，让拓扑物理真正走进工程世界。
研究团队构建了理想的弹性模型，如图1(a)所示为弹性模型的原胞，该模型为三层晶格结构，该弹性模型具有矢量性质，面内和面外运动模式相互耦合，使物理性质变得更为丰富。团队首先考虑质点-弹簧模型，如图1(b)为质点-弹簧模型的能带结构，当面外模式和面内模式不发生耦合的时候，第一条面外能带和第二、三条面外能带之间会打开带隙（Euler相）。由于第二、三条面外模式会出现非阿贝尔编织行为，并且这些“电荷”无法同时湮灭，因此当面外模式和面内模式完全解耦时，即使这两种模式在动量空间出现相交，第二、三条能带之间也无法打开带隙。而当进一步考虑弯曲和剪切刚度后，会在第三和第四能带之间出现了一个完整的带隙，如图1(c)绿色区域所示，其拓扑性质可以由非阿贝尔Wilson loop描述。进一步调整模型的参数，第一与第二条能带之间打开带隙，如图1(d)所示，这表明体系出现了Euler拓扑相，并且Stiefel-Whitney拓扑相对应的带隙依然得以保留。这两种拓扑相可以在单个弹性系统中共存。
图1 理想弹性模型及其能带结构和拓扑相图
=1。绿色实线对应前三条能带的威尔逊环，可以观察在
处存在3个交点，这一特征表明体系存在拓扑稳定的Stiefel-Whitney相（
=1）。这些计算表明混合拓扑相可以在实际的弹性超材料中实现，其拓扑特征由欧拉类与Stiefel-Whitney类共同定义。
图2 弹性超材料中的混合拓扑相
= ±1的Γ点的色散曲线如图3(c)-(d)所示。
图3 弹性超材料的混合拓扑相的实验方案
图4 边缘态和角态的实验测量
这种双重拓扑的实现，不仅深化了我们对多能带拓扑物理的认知，也揭示出矢量弹性波体系比标量波蕴含更丰富的自由度。通过在同一材料中实现拓扑混合相，我们首次能够同时激发并调控边缘态与角态，在单一平台上融合波导传输与能量局域两种功能。这一进展不仅拓展了多带隙拓扑的理论图景，也为未来设计集成化、多功能的弹性波器件奠定了物理基础——例如兼具信号定向传输与振动局部增强的双工作模式器件，有望直接应用于智能减振、结构健康监测、声表面波等前沿工程领域，让拓扑物理从理论走向实实在在的应用。
论文链接：
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/ycnn-5ptf
撰稿|课题组
