体边对应作为拓扑物理学的黄金守则，总是以非平庸拓扑的体态为开端，进而引起低维度的边界态。在这项研究中，作者通过声子晶体的平台，首次在实验中观测到上述体边对应的反例——平庸拓扑的体态中的嵌入式拓扑，促成一个起源于平庸体态的体边对应。研究成果以 “Observation of Embedded Topology in a Trivial Bulk via Projective Crystal Symmetry” 为题，发表于《Physical Review Letters》，通讯作者包括同济大学龙洋教授、江苏大学孙宏祥教授、以及新加坡南洋理工大学张柏乐教授，一作是新加坡南洋理工大学博士生张浩田(Teo Hau Tian)。该成果荣获编辑部推荐（Editors’ Suggestions）。
作为拓扑物理学的基本准则，体边对应(bulk-boundary correspondence) 确立了体能带拓扑与拓扑边界态的一一对应关系。常规的体边对应首先确立于量子霍尔效应【Phys. Rev.Lett.45,494 (1980);Phys. Rev. B25, 2185(1982)】，在D-维拓扑体态中引起(D-1)-维度的边界态。在晶体对称性 (crystal symmetry) 的保护下，高阶拓扑的概念更是把这个准则推广至链式阶级的结构，促使拓扑边界态出现于(D-2)-维乃至更低维度的边界【Science357,61(2017); Phys.Rev.B96,245115(2017)】。迄今为止，所有已实现的拓扑系统皆遵循一种假设——体边对应总是需要非平庸拓扑的体态，才能发起体边对应的作用链。然而，最近嵌入式拓扑的理论发展开始挑战这个观点。
什么是嵌入式拓扑？
通过引入嵌入式拓扑(embedded topology)，体态的拓扑性质仍可以保持平庸，但是低维边界的能带可以催生出非平庸拓扑，进而引起更低维度的边界态（如嵌入式拓扑绝缘体Phys. Rev. B 100, 115126 (2019) 与嵌入式拓扑半金属Phys. Rev. B 105, 184105 (2022) 的理论）。这种非常规的体边对应作用链虽然拓展了对称性与维度阶级如何产生拓扑现象的理解，但是这个作用链仍未在实验中获得证实。此外，平庸体态中的嵌入式拓扑只在整体对称性(global symmetry) 的框架中做了理论上的探讨，而且这个作用链与晶体对称性的联系还是个未知数。
图1：不同拓扑机制中体边对应的作用链。(a) 常规拓扑绝缘体（一阶拓扑）起源于D-维拓扑体态，体现(D-1)-维的边界态。(b) 高阶拓扑绝缘体同样发源于D-维拓扑体态，在(D-2)-维乃至更低维度引发边界态。(c) 嵌入式拓扑绝缘体可以起源于D-维平庸拓扑的体态。非平庸拓扑可以透过(D-1)-维边界作为开端，引发(D-2)-维的拓扑边界态。
在这项研究中，作者通过声子晶体的平台，首次在实验中实现了上述体边对应作用链的反例——平庸体态中的嵌入式拓扑，其中的体边对应起源于一个平庸拓扑的体态。相较于对整体对称性的依赖，作者反倒利用了投影晶体对称性 (projective crystal symmetry)，使得非平庸拓扑不再发源于D-维的体态，反而半道发源于体边对应阶级中的低维边界。首先，作者基于图2的紧束缚模型确立了投影镜像对称 (projective mirror symmetry) 的结构，但二维空间中此对称性只保护单一的相——平庸相。通过连接两个二维平庸绝缘体的界面，一维拓扑绝缘体得以形成。其中，一维拓扑发源于一维无带隙界面的拓扑相变，从而揭开嵌入式拓扑的面纱。为了观测绝缘界面的拓扑性质，两个相异拓扑的一维界面彼此相接，继而衍生出一个二维的三边交界 (trijunction) 与其中心的拓扑边界态。
图2：投影晶体对称性之下的嵌入式拓扑。(a) 二维紧束缚模型，基于正负相间的耦合（实线与虚线），形成x方向的投影镜像对称(projective mirror symmetry)。(b) 二维平庸绝缘体 A、B、C的体能带。(c)-(d) 成对连接二维绝缘体之下的一维边界色散图，其中红色能带表示局域于一维界面的能带与相应的拓扑数 Zak 相位。(e) 三边交界的色散图，其中零能模局域在三边交界的中心 (f)。
在声子晶体的平台中（图3），作者借助三维打印技术搭建了声学共振腔的阵列，用以模拟紧束缚模型的晶格。透过腔体间的管道链接，可获得三个拓扑平庸的二维绝缘体。连接这三个绝缘体后，可形成三边交界的结构。通过检查频率特征值，单一拓扑态得以体现于拓扑能隙里。最终，实验中的传输谱在同样的频率区间呈现出峰值，而拓扑态的激发也被高度局域于中心的实空间分布验证。
图3：嵌入式拓扑在二维声子晶体的观测。(a) 声子晶体的三种平庸原胞示意图与其体能带 (b)。(c) 声子晶体的实验图，中心为三边交界。(d) 频率特征值的分布。(e) 三边交界中心、一维边界与体态传输谱，其中声源能在三边交界激发出高度局域的拓扑态 (f)。
紧接着，作者把嵌入式拓扑进一步拓展至三维绝缘体。在投影镜像对称之下，四个三维绝缘体的体态和二维表面保持平庸。嵌入式拓扑则是发源于一维的棱，而最终的零维拓扑边界态高度局域于一个三维的四边交界(quadrijunction)。通过体现了由嵌入式拓扑支持的零维拓扑态，作者达成了实空间中最长且如此非常规的体边对应作用链。具体的紧束缚模型与声子晶体实验可参考图4。
图4：嵌入式拓扑在三维声子晶体的观测。(a)-(b) 三维紧束缚模型与体能带。(c)-(d) 通过形成四边交界，高度局域的嵌入式拓扑边界态出现于零能。(e)-(h) 声学原胞示意图及体能带，接着仿真中确定零维拓扑边界态的存在。(i) 声子晶体实验图，其中四边交界位于样品中心。(j) 实验中声源与探针的位置，对应相关传输谱 (k)。中心探测的峰值频率区间与仿真 (g) 吻合，相应拓扑态在实空间的激发也高度局域于四边交界 (l)。
通过晶体对称性，这篇文章证实了嵌入式拓扑在平庸体态的存在，从而确立了一种由平庸体态为开端且非寻常的体边对应。上述机制已经具备推广至其他经典波平台和电路系统的潜质。此外，非厄米诱发的相变以及非线性调控的耦合也能为嵌入式拓扑相的搭建带来不少机会。这项研究不只为平庸拓扑提供了全新的观点，更是为鲁棒拓扑器件的设计解锁了更高的自由度。
论文标题：Observation of Embedded Topology in a Trivial Bulk via Projective Crystal Symmetry
作者：HauTianTeo,YangLong,Hong-yuZou,KailinSong,HaoranXue,YongGe,Shou-qiYuan,Hong-xiangSun, BaileZhang
论文链接：https://doi.org/10.1103/9tq1-37j1
撰稿|课题组
