Optica | 厦大陈焕阳团队：基于变换光学的双曲几何新机制发现高阶双曲波

1.研究背景：当“变换光学”遇上“双曲介质”

如何实现对光波波前的精确调控，是现代光子技术的核心课题。近年来，变换光学(Transformation Optics, TO)利用麦克斯韦方程组的形式不变性，展现了对电磁场惊人的调控能力。其中，基于复变函数论的保角变换光学(Conformal Transformation Optics, CTO)，仅需各向同性的渐变折射率分布即可实现对二维电磁场的优雅操控，在隐身斗篷、波束弯曲等领域取得了巨大成功。

然而，随着双曲介质(Hyperbolic Media)研究的兴起，科学家发现这类材料支持具有双曲线型色散关系的“双曲波”的传播，在超分辨率成像和增强自发辐射等方面具有巨大潜力。但一个关键的数学障碍随之而来：传统CTO建立在复平面之上，遵循欧几里得几何；而双曲波受到Minkowski几何的约束。由于两者在色散关系几何约束上的本质差异，传统的复平面CTO方法无法直接适用于双曲波的调控。

2. 理论突破：从“旋转对称”到“径向反转”

为了解决这一难题，陈焕阳教授团队在前期工作的基础上，从数学底层逻辑出发，建立了基于双曲平面的变换光学新框架。研究团队深刻揭示了两种数学平面中“多值性”来源的本质不同（如图1所示）：

复平面(Isotropic)：由复数 构成，遵循欧几里得度规。其指数变换的多值性(例如)源于虚数单位i引入的旋转对称性。

双曲平面(Hyperbolic)：由双曲数构成，遵循 Minkowski 度规。其指数变换的多值性不具备旋转对称性，而是源于径向反转(Inversion)。例如，方程的解中-w₀实际上来自于w₀ 的径向坐标反转。

这一发现表明：双曲平面具有一种与复平面截然不同的径向对称性，这是导致双曲光学保角变换出现独特现象的物理根源。

图1. 描述各向同性介质的复平面（旋转对称）和描述双曲介质的双曲平面（径向反转）之间的对称性差异。

3. 核心创新：双重双曲指数保角变换与高阶波

基于上述理论，团队提出了双重双曲指数保角变换 (DHPCM)。由于双曲数代数结构不满足代数基本定理，其二次方程 (其中代表变换前的虚拟空间，而代表变换后的物理空间) 存在四个非简并解 分别对应双曲平面的四支径向坐标(如图2. (a)所示)。此处的径向坐标kr 代表对r的翻转操作 (k操作)，即通过交换横纵坐标的地位来实现双曲线开口取向的翻转。这一特性与复平面中虚数单位i所代表的旋转操作形成鲜明类比，深刻揭示了双曲虚数单位K和传统虚数单位i之间的几何本质差异。变换后的空间中一个面外线电流可以激发出所有径向取向的双曲波，其解析和仿真面外电场分别如图2. (b), (c)所示。团队将该变换命名为双重双曲指数保角变换(Dual-hyperbolic power conformal mapping, DHPCM)。DHPCM的完整形式由下式给出

其中N为正整数，为常实数，其物理意义为变换后物理空间中径向等值线的渐近线与x轴的交点。以为例，变换后物理空间的坐标系如图2. (d)所示，图中金色和棕色线代表渐近线。变换前的虚拟空间中点源所在位置为w=0，对应变换后的物理空间中的四个点，因此在物理空间中需要使用4个面外线电流作为波源，其位置在图2. (d)中由红点标注。物理空间中的解析和仿真面外电场分别如图2. (e), (f)所示。

双曲线的一个重要特征就是有2条渐近线，而DHPCM可以直接把虚拟空间中的2条渐近线变换为物理空间中的2N条渐近线并控制其位置分布，因此物理空间中的波被称为高阶双曲波，图2. (d-f)展示的即为2阶双曲波的一种。

图2：双重双曲指数保角变换（DHPCM）原理图。虚拟空间的简单点源被映射为物理空间中具有多条渐近线的高阶双曲波。

4. 应用前景：首次在面内双曲介质中激发OAM

高阶双曲波的提出不仅仅是理论上的突破，更带来了全新的波前调控维度。研究团队展示了通过调节物理空间中4个面外线电流源的初始相位分布，可以生成多种形式的干涉场(如图3所示)：

偶极子/四极子图案：通过反相辐射干涉实现(如图3. (a)，图3.(d)所示)。

涡旋场与OAM：当相位设置为时，中心呈现出携带OAM拓扑荷数的涡旋场(如图3. (b)所示)。而将初始相位改为将得到携带OAM拓扑荷数的涡旋场(如图3. (c)所示)。

这是理论上首次在面内双曲介质中实现携带OAM的涡旋场激发。由于双曲平面本身不具备旋转对称性，传统方法无法实现这一目标，而DHPCM通过闭合等相位面的构建巧妙解决了这一问题。

图3：通过调整点源的初始相位分布，实现偶极子、四极子及携带OAM的涡旋场激发。