为什么是PID？- 大数跨境

上海华理自动化系统工程有限公司

2025-09-12

导读：PID工业流行的专业解释万老师说对于二阶对象而言，理论上PID就够用了。如果是一阶对象，理论上PI也就够用了

万老师说对于二阶对象而言，理论上PID就够用了。如果是一阶对象，理论上PI也就够用了。物理学上常用的微分方程大多至多是二阶的。牛顿力学、麦克斯韦方程组、爱因斯坦场方程、薛定谔方程都是二阶的，这些分别是经典力学、电磁力学、相对论和量子力学当中最重要的方程。

原因说起来挺复杂的，我也就是陈述一下：“拉氏量中大于二阶的高阶导数的引入一般会导致Ostrogradsky不稳定性，不能描述一个稳定的物理系统，这显然非常不物理，稳定的二阶拉氏量只设计二阶导数，没有高阶导数。”

在很多先进控制软件中，虽然支持高阶建模，但是一般都会用低阶模型进行近似。这样一方面可以进行滤波，保证辨识的准确性，另一方面，使用高阶模型对复杂特性进行准确建模，既没有意义也不可靠。

“针对由牛顿第二定律所描述的二阶非线性不确定系统，我们利用函数的“灵敏度”(偏导数)的上界定义了不确定性函数类，并且给出了三维参数空间的一个无界开集合。可以证明，只要PID 控制器的3个参数从这个参数集合里任意选取，那么与不确定函数类所对应的系统簇中任何一个闭环控制系统，都是全局稳定的并且输出误差以指数级速度收敛到零。此外，对两类特殊非线性不确定系统，利用微分方程中的Markus-Yamabe 定理等，还给出并严格证明为了使闭环系统簇全局稳定，PID (PD) 控制器的参数所应满足的充分必要条件。这些研究不但建立了PID 控制器的稳定性和收敛性理论，给出了控制器参数的具体设计方法，并且严格说明了PID控制器无论对非线性系统的不确定性结构，还是对PID控制器的3个参数选择，都具有大范围的鲁棒性，我们称之为“双边鲁棒性”。”

—郭雷院士

“求导会对局部的细节噪音起到非常明显的放大作用。物理是一门试验学科，所有的规律都是从实验数据中总结出来的。如果物理规律出现了高阶微分方程的形式，那很有可能出现了过拟合的情况：catch the noise, not the signal。相应地，也就无法得到具有普适性的物理规律。而且要求解高阶微分方程，也必须要获得很细节的数据才可以；从实际操作的角度，这些细节的数据也很难测量，即使测量出来了，很可能测量值也处于误差范围之内。此外，二阶微分方程求解的结果大多为波动解，根据傅里叶思想，物理上真实存在的东西都可以写成傅里叶级数叠加的形式；如果不行，那就多来几个。”

可是为什么控制系统里有很多高阶对象呢？

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