组合数学是一门历史悠久的数学分支，它发源于数学的消遣和游戏。不管是为了消遣，还是为了数学的美学兴趣，人们过去研究的许多组合数学问题，对于今天的纯粹数学或应用数学来说都是非常重要的。特别是随着数字计算机技术的飞速发展，组合数学更成为现代数学中非常重要的一个研究分支，而且它的影响正在迅速扩大。
组合数学所研究的就是将一组事物安排成各种各样模式的问题。它研究的既然是按照一定的规则来安排一些元素，那么研究时一般考虑如下问题：
符合规则的元素安排是否存在？
如果符合规则的元素安排存在，则按此规则安排的方法数是多少？
怎样才能把这样的安排求出来？
如果有按此规则的最优标准，则需要求出此最优的安排。
上述几个问题我们依次称为存在性问题、计数问题、构造问题和最优化问题。
几个经典的例子
1. 洛书的构造
相传在四千多年前的中国，大禹为了治理好滔天的洪水，领导人民日夜奔忙，三过家门而不入。在大禹治好那汹涌澎湃的洪水之后，就有一龙马自河中跃出，献给大禹一幅河图，另外在洛河里也有一神龟，背驮了洛书（图 1）献给大禹。据传这两部书中都包含了治国安邦、平治天下的大道理，以至于在《论语》中，圣人孔子因为当时世风日下、人心不古，而感叹“河不出图”。
图 1
洛书上的每个圆点代表 1，则我们把洛书的图形用阿拉伯数字写出来就是图 2 中的正方形阵列。我们容易验证其中每行、每列、两条对角线上三个数字的和都是 15。那么洛书是如何构造的呢？
图 2
更一般的问题是：把 1, 2, …, n 这 n 个自然数放入由 n×n 个小正方形组成的正方形方阵，而且要求纵、横、对角线上数字的和都相等，这种正方形方阵是否存在？满足这些条件的方阵称为“n 阶纵横图”，在国外称其为“n 阶魔方阵”或“n 阶幻方”。
2. Fibonacci 数列
Fibonacci 是 12 世纪的意大利数学家，他在自己的《 算盘书》 中提出了一个很有名的“兔子生兔子的数学问题”，即有一个人把一对小兔子放在四面都围住的地方，他想知道一年以后总共会有多少对兔子？在这里我们假定一对小兔子一个月后就能长成大兔子，而一对大兔子一个月后就能生出一对小兔子，并且这些兔子都不会死亡。
显然，这是一个算术问题，但是却不容易使用普通的算术公式进行计算。我们用空心点表示一对小兔子，实心点表示一对大兔子，则可以使用图 3 来表示在 7 个月内兔子的繁殖情况。每个月的兔子对数构成 Fibonacci 数列：
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …}。
如何确定 Fibonacci 数列的通项公式？
图 3
3. 有限射影平面
有一位好客的女主人打算陆续邀请 7 位朋友（记为 A，B，C，D，E，F，G）来家里聚会，每次聚会她只想邀请 3 位朋友，但是希望其中任何两位朋友都恰好在一次聚会上见面，那么她应该怎样安排？这样的安排是否存在？图 4 表示一种可行的安排方案，图中共线、共圆的三点均表示每次邀请的三位朋友。
图 4
图 4 中的图形非常有名！它由数学家 Fano 于 1892 年提出。实际上，它就是定义在二元域上的二阶射影平面 PG(2,2)。射影几何学在古典几何学中是最基础的、最广泛的而且是最自由的。它是公理化数学的典型范例之一，也可以说是现代数学的先驱。一般的 k 阶射影平面是否存在？如果存在，是否唯一？
《组合数学》（第二版）
ISBN：978-7-04-057746-4
出版时间：2022 年 3 月
定价：25.8 元
《组合数学》（第二版）（南基洙、郭海霞编）不仅介绍了上述问题，还给出部分问题的解答或最新进展。该书介绍组合数学的基本内容。全书共 10 章，含组合计数方面的递归关系、母函数、容斥原理、Pólya定理等基本计数方法，存在性方面的抽屉原理、有限几何以及组合设计方面的正交拉丁方等。此外，书中还包含了许多有趣的例子和作者的一些研究成果。
本次修订仍然遵循少而精、简明扼要的原则，主要是改正原版中的谬误，并少量增补一些有趣的内容。具体修订内容如下：
改正原版的谬误和不规范的符号；
在第六章增加“Pascal 矩阵”一节，在第十章增加数字资源“Pooling 设计”；
增补一些习题，并给出书中全部习题的参考解答或提示，均以二维码的形式呈现，供读者学习时参考；
增列一些参考文献。
