难点分析 | 力学动态平衡的几种解法

在物理学上通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。解决此类问题的基本思路是

化“动”为“静”，“静”中求“动”，具体有以下五种方法：

函数解析法

物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。

例1：如图所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（ ）

A. 绳子的拉力F不断增大

B. 绳子的拉力F不变

C. 船所受的浮力不断减小

D. 船所受的浮力不断增大

解析

小船共受四个力作用：重力G、浮力F浮、水的阻力f、绳子拉力F。引入绳与水平方向的夹角为参量θ。由于小船是匀速靠岸，故有平衡方程

由题意可知：重力G和水对小船的阻力f不变，在靠岸过程中θ不断增大，所以F不断增大，F浮不断减小。A、C选项正确。

三角形法则

当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例2：如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？

解析

取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

点评

三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。

相似三角形

对受三力作用而平衡的物体，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例3：如图所示，空气中有两个带电小球A和B，A被边长为L的绝缘细线悬于固定点O；B被绝缘支架固定于O点的正下方，与O点的距离为L，与A球相距为d1。由于漏电，过一段时间后，A的带电量变为原来的4/9，B的带电量变为原来的2/3，试求此时A、B两球间的距离。

解析

A球受重力G、B球对它的库仑力F和悬线的拉力T作用（如下图）。平衡时，此三力合力为零，则F与G的合力T”与T等值反向，作出力的三角形△AGT，则力的△AGT与几何三角形△ABO相似。设带电小球在漏电后的距离为d2，库仑力分别为F1、F2，则有

几何极值法

三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b，且c=btanθ，如图所示。

例4：如图所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，保持重物的位置不变。现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C移动，在这过程中，OB绳中的张力的最小值TB是多少？

解析

O点在重力G、OA和OB绳的张力TA和TB的三个力作用下处于平衡状态，G、TA、TB组成闭合三角形。G的大小、方向已知，TA方向与G的夹角为θ，欲求TB最小值，则必需TB垂直于TA，且TB=TAtanθ=Gsinθ。

点评

几何极值法其适用条件与三角形法则相同，只不过是在三角形法则定性变化情况的基础上，几何极值法定量地求出具体极值。