■ 在计算机中处理三维几何对象的前提是其数字化表示以及如何建模得到这样的数字化表示。在不同的应用场合，这些数字化表示还会被进一步加工处理，甚至进行各种分析和模拟仿真。
《离散几何处理与应用》以当前数字体验、虚拟现实、3D打印等新兴研究领域中的三维离散几何处理问题为重点，系统全面地介绍作者在网格模型的几何处理、建模、分析和物理模拟等方面的研究成果，并对每一研究内容，尽量给出相关重要、里程碑式的方法，以揭示技术演化的脉络，便于读者在了解当前研究进展的同时把握未来的发展趋势。
责任编辑：任静
几何学的研究可以上溯至公元前二世纪，经过两千多年的发展，几何学已成为数学的一个极为重要和庞大的分支。计算机辅助设计(CAD)和图形学将现代计算机与这一有着悠久历史的学科紧密关联了起来，离散几何处理就是其中的重要环节。
有别于强烈依赖于连续光滑性的传统几何学，离散几何处理深深地打上了计算机离散计算的本质烙印。比如典型的网格、点云、等值面等表示方法，在有限存储、有限计算等条件下，仅能以采样、逼近的方式来表示连续的曲面；在连续条件下易于定义和计算的各种微分、积分方法也需要额外的研究和探索才能适合于计算机处理。这方面的数学原理与数值分析有着密切的联系，然而由于其深刻的几何背景及特色，这些相关研究问题被统称为离散化(Discretization)。当然不同的离散化表示方法有其特有的优缺点。
传统计算机辅助设计领域常用的样条等曲面表示方法使用较为少量的参数来刻画物体形状，精度高但难以高效表达复杂几何细节，物体构造和模拟所涉及的几何物理等操作需要鲁棒执行模型间的大量数学计算。因此，网格、点云等离散化表示方法得到了高度重视和深入研究，涌现出了一系列基本离散算子来逼近各种连续计算方法，构成了离散几何处理的算法基石。
大量的几何处理技术都从这些基本离散算子出发来建模刻画应用目标，因此离散算子的性质严重影响着优化函数的数值性质，比如非线性程度、逼近连续解的收敛性等。当然，在求解各种优化问题时，数值方法的选取至关重要。根据优化目标是否有约束条件、是否是一个凸问题、是否连续可导等特性，为了高效率地求解计算，数值方法的选择依赖于对典型数值方法的深刻理解。比如，牛顿法及其各种衍生算法在处理目标函数的Hessian矩阵时各有特色，有些算法对Hessian矩阵进行精确逼近以换取高收敛率，但计算代价大，且可能出现不定矩阵引发的不稳定现象；而另一些方法则牺牲收敛率来换取快速的鲁棒迭代，以实现高效的数值优化。即便是同一个优化问题，在不同的应用需求中也可能需要使用不同的方法以获得精度、速度、稳定性等指标的平衡。
｜作者说｜
<< 滑动查看下一张图片 >>
前言
第1章 几何处理的数学基础 /1
1.1 曲面表示 /2
1.1.1 多边形网格曲面 /2
1.1.2 隐式曲面 /5
1.2 样条曲线曲面 /8
1.2.1 三次样条 /8
1.2.2 Bézier样条 /10
1.2.3 B-样条 /12
1.2.4 有理样条 /13
1.3 微分几何基础 /14
1.3.1 连续光滑的二维流形曲面 /14
1.3.2 离散表示和计算 /17
1.4 计算几何基础 /20
1.4.1 Hausdorff距离计算 /21
1.4.2 网格求交裁剪 /23
1.5 数值优化基础 /25
1.5.1 无约束优化 /25
1.5.2 带约束优化 /28
1.6 小结 /30
第2章 点云曲面重建和光顺 /31
2.1 点云配准 /32
2.1.1 点云刚性配准 /32
2.1.2 点云非刚性配准 /40
2.2 显式曲面重建 /46
2.2.1 Voronoi图与 Delaunay三角剖分 /46
2.2.2 Crust算法 /49
2.2.3 Power Crust算法 /50
2.2.4 Cocone算法 /51
2.3 隐式曲面重建 /53
2.3.1 符号距离场重建 /54
2.3.2 径向基函数曲面重建 /56
2.3.3 Poisson曲面重建 /57
2.3.4 多层单元剖分曲面重建 /60
2.4 曲面光顺 /62
2.4.1 基于顶点的曲面光顺 /63
2.4.2 基于法向的曲面光顺 /65
2.4.3 数据驱动的曲面光顺 /68
2.5 小结 /70
第3章 网格曲面的参数化和多分辨率表示 /72
3.1 网格曲面参数化 /72
3.1.1 单片与多片参数化 /73
3.1.2 局部防翻转参数化 /76
3.1.3 从局部到整体的参数化 /80
3.1.4 渐进参数化 /84
3.2 网格曲面简化与多分辨率表示 /89
3.2.1 网格曲面简化 /90
3.2.2 多分辨率模型 /92
3.3 网格压缩编码 /94
3.3.1 三角形条带 /95
3.3.2 广义三角形网 /97
3.3.3 单网格压缩编码 /100
3.3.4 渐进网格压缩编码 /102
3.3.5 渐进式森林分裂 /103
3.3.6 网格序列压缩编码 /104
3.4 小结 /108
第4章 网格模型的重网格化 /109
4.1 重网格化需求 /109
4.2 四边形重网格化 /111
4.2.1 方向场驱动的四边形重网格化 /113
4.2.2 基于莫尔斯-斯梅尔复形的四边形重网格化 /121
4.2.3 基于周期四维向量场的四边形重网格化 /123
4.3 六面体重网格化 /132
4.3.1 基于局部拓扑操作的六面体重网格化 /132
4.3.2 三维标架场与全局六面体拓扑结构生成 /134
4.3.3 基于多立方体结构的六面体重网格化 /144
4.3.4 基于闭形式多立方体结构的六面体重网格化 /147
4.4 小结 /153
第5章 三维形状分析 /155
5.1 人工定义的形状描述子 /156
5.1.1 人工定义的全局形状描述子 /156
5.1.2 人工定义的局部形状描述子 /158
5.2 基于学习的形状描述子 /160
5.2.1 基于学习的全局形状描述子 /160
5.2.2 基于学习的局部形状描述子 /162
5.3 网格模型分割 /166
5.3.1 全自动形状分割 /167
5.3.2 交互式模型分割 /172
5.3.3 多个形状的协同分割 /174
5.4 形状匹配与检索 /178
5.4.1 形状检索系统 /179
5.4.2 模型检索算法 /180
5.5 小结 /183
第6章 网格曲面的形变 /184
6.1 插值重构形变方法 /185
6.1.1 蒙皮技术 /185
6.1.2 自由形变 /189
6.2 梯度域线性网格形变 /191
6.2.1 梯度域 Poisson网格形变和编辑 /191
6.2.2 基于体图的梯度域网格形变 /195
6.3 非线性子空间梯度域网格形变方法 /200
6.3.1 网格形变的非线性约束优化 /201
6.3.2 网格形变的子空间优化求解 /205
6.4 小结 /211
第7章 网格模型的弹性运动模拟 /212
7.1 高效弹性运动模拟 /213
7.1.1 弹性运动方程 /213
7.1.2 子空间降维加速求解 /217
7.1.3 基于位置和投影的加速求解 /224
7.2 碰撞检测和碰撞处理 /227
7.2.1 碰撞检测 /227
7.2.2 碰撞处理 /229
7.3 复杂弹性体运动编辑 /234
7.3.1 旋转-应变空间的运动编辑控制 /235
7.3.2 材质优化的运动编辑控制 /238
7.4 小结 /243
第8章 基于机器学习的几何处理 /244
8.1 压缩感知与稀疏学习 /244
8.1.1 稀疏编码 /245
8.1.2 字典学习 /246
8.1.3 稀疏正则化 /246
8.1.4 低秩优化 /247
8.2 基于压缩感知和稀疏学习的几何处理 /248
8.2.1 基于压缩感知的网格去噪 /248
8.2.2 基于稀疏优化的网格去噪 /250
8.2.3 基于基函数稀疏选择的曲面重建 /252
8.2.4 基于稀疏正则化的形状匹配 /252
8.2.5 基于稀疏正则化的曲面变形 /253
8.2.6 基于字典学习的混合蒙皮 /254
8.2.7 基于字典学习的曲面重建 /254
8.2.8 基于低秩优化的模型正朝向 /256
8.2.9 基于低秩优化的点云法向估计 /256
8.3 机器学习基础 /257
8.3.1 机器学习任务 /257
8.3.2 机器学习模型 /258
8.3.3 机器学习方法 /260
8.4 基于深度学习的几何处理 /265
8.4.1 基于低级特征的三维深度学习 /267
8.4.2 基于欧氏空间的三维深度学习 /269
8.4.3 流形上的三维深度学习 /275
8.4.4 用于形状构建的端到端三维生成模型 /277
8.4.5 基于循环神经网络的无监督非刚性配准 /280
8.5 小结 /285
第9章 新型几何处理应用 /287
9.1 虚拟环境行走漫游的重定向 /288
9.1.1 重定向行走 /288
9.1.2 场景映射 /290
9.1.3 重定向场景映射 /293
9.1.4 虚拟环境多人行走漫游与交互 /294
9.2 3D打印中的几何处理 /296
9.2.1 打印工艺相关的几何处理 /296
9.2.2 面向结构和物理性能的几何处理 /301
9.3 机器人中的几何处理 /305
9.3.1 机器人自主扫描与重建 /306
9.3.2 机器人智能场景理解 /311
9.3.3 基于机器臂的3D打印 /314
9.4 小结 /317
参考文献 /318
（本文编辑：王芳）
一起阅读科学!
科学出版社│微信ID：sciencepress-cspm
专业品质 学术价值
原创好读 科学品味
科学出版社 视频号
硬核有料 视听科学
传播科学，欢迎您点亮★星标，点赞、在看▼