粗糙微分方程及其动力学 | 非线性发展方程动力系统丛书3- 大数跨境

科学出版社

2024-07-17

复杂系统通常会受到随机因素或不确定性因素的影响，然而，在刻画复杂系统的确定性微分方程的建模过程中，往往忽略了这些随机和不确定性因素，而这些因素有时会对系统造成根本性的影响。因此诞生了一种不同于确定性的微分方程理论——随机微分方程。

作为随机微分方程的重要理论工具，随机分析为随机动力系统的发展带来了机遇与挑战。在过去的几十年里，人们通过对随机微分方程生成的随机动力系统进行研究，将随机分析和随机动力系统有机联系起来，取得了丰硕的研究成果。但是，随机动力系统领域仍存在许多未解决的问题。其中最重要的问题是研究非线性乘性噪声驱动的随机偏微分方程的动力学行为。事实上，随机动力系统的概念是20 世纪90 年代德国的Arnold 教授所领导的Bremen 学派历经数十年研究后提出的。这种方法是从逐轨道的角度出发来研究随机动力系统。在这个框架下，很多实际问题往往只能考虑加性或线性乘性的噪声。

20 世纪90 年代，英国的Lyons 教授提出了一种革命性的理论，被称为粗糙路径分析，它完全克服了常微分方程和随机微分方程之间的差距，建立起了随机分析和粗糙路径分析之间的联系。粗糙路径分析是一种逐轨道的分析方法，为随机动力系统的发展提供了新的机遇。目前关于粗糙动力系统的研究主要是由Imkeller、Riedel、Scheutzow、Bailleul、吕克宁、Schmalfuss、Garrido-Atienza、Kuehn 等教授及其合作者推动。对于粗糙噪声驱动的随机动力系统的研究仍处于起步阶段，国内外尚无合适的粗糙微分方程和动力系统相结合的教材。

近年来，我们对粗糙噪声驱动的偏微分方程进行了较为系统的学习和研究，并在国家自然科学基金的资助下，对粗糙噪声驱动的系统的动力学逼近开展了研究，并取得了一些研究成果。其间，我们邀请德国Jena 大学Hesse 博士为我们讲授八讲关于粗糙路径理论及粗糙吸引子的工作；听取了耿曦博士线上的粗糙路径理论的课程；仔细研讨了Friz 和Hairer 关于粗糙路径的专著；研读了粗糙路径在偏微分方程和随机动力系统中应用的相关结果。在对相关理论和结果消化和吸收的基础上，对粗糙路径和随机动力系统理论进行合理编排，撰写了这本《粗糙微分方程及其动力学》（高洪俊，曹琪勇，马鸿燕著. 北京: 科学出版社，2024. 6）。希望本书的出版能够帮助对粗糙动力系统感兴趣的学者尽快进入该领域，并在阅读此书的基础上，尽快进入前沿。

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本书主要介绍粗糙微分方程及其动力学方面的若干研究成果。全书分为七章。第1 章介绍相关背景材料；第2 章为全书的基础，给出粗糙路径、高斯粗糙路径、受控粗糙路径的定义及相关性质；第3 章介绍粗糙积分和粗糙微分方程的解理论；第4 章介绍随机动力系统基本理论；第5 章介绍有限维粗糙微分方程所生成随机动力系统的相关动力学——中心流形、随机吸引子以及随机动力系统的逼近；第6 章介绍几类粗糙偏微分方程的基本解理论，内容涵盖特征线方法、Feynman-Kac 表示、半群方法、变分方法；第7 章介绍随机粗糙偏微分方程生成的无穷维随机动力系统的局部稳定性、局部不稳定流形以及粗糙噪声输运驱动的三维Navier-Stokes 方程生成随机动力系统。

郭柏灵院士是作者高洪俊的授业恩师，郭老师一直关心我们的发展，正值郭老师主编科学出版社“非线性发展方程动力系统丛书” 之际，给了我们向各位专家学习的机会。我们也是抱着抛砖引玉的想法，希望粗糙偏微分方程及其动力学的研究能引起更多学者的关注。

本书的写作过程中，我们得到了郭柏灵院士给予的极大的鼓励与支持。同时也得到了Schmalfuss 教授、吕克宁教授和Hesse 博士的诸多帮助，在此对他们表示衷心的感谢。