大数跨境
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北大王杰教授:音乐与数学

北大王杰教授:音乐与数学 科学出版社
2025-09-23
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音乐是一门听觉的艺术,用音符打动人心。数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式。这样看来,似乎音乐和数学之间很难扯上联系。但是如果你耐心读完这本小册子,也许就会有不一样的想法。





音乐中的数学
王杰著
北京科学出版社2025.8
ISBN 978-7-03-082773-9

本书从音乐理论和实践中提出的若干问题出发介绍音乐背后的数学知识用这些数学的结果来揭示音乐现象背后的道理



这本书是讲音乐与数学的

音乐是人类生活的一部分大概每个人都会有自己喜欢的音乐——古典或者流行、民歌或者摇滚……据说人们喜爱音乐是有科学依据的当你听到自己喜欢的音乐时大脑里会释放出一种“快乐物质”——多巴胺它会使你产生愉悦感数学是我们从小就开始学习的一门功课但是不少人都觉得数学抽象、枯燥、乏味和音乐相比也许你不仅不喜欢数学甚至还有些害怕数学既然如此怎么会把数学和音乐放在一起讲呢?

这正是我们这本小册子想告诉你的音乐和数学其实有着密切的联系优美和谐的音乐背后有着许多数学道理如果你愿意的话就请跟随我们一起来探索音乐背后的数学吧

湖骨笛(约公元前70005800 )

带刻线的骨笛

在中国的河南省舞阳县有一处新石器早期的文化遗存——贾湖遗址20 世纪80 年代开始在那里陆续发掘出数十支用鹤类的尺骨做成的骨笛根据考古学家的研究和测定这些骨笛的年代大约为公元前70005800 也就是距今约90007800 这些骨笛大多有可以吹奏出完整的六声和七声音阶不仅如此不少骨笛的音孔旁尚存钻孔时设计音孔位置的横线刻记可以看出开孔前的刻线显然是根据某种特定的比例关系计算好了的可见早在远古时代我们的祖先在做笛子的时候就知道需要先计算一下然后再去开孔音乐与数学已经发生了联系

司马迁
(公元前145 或前135?)字子长夏阳(今陕西韩城南史学家、文学家、思想家

司马迁的《史记》是大家都知道的但鲜为人知的是《史记》中记载了音乐与数学之间的关系在《史记》卷二十五《律书第三》中有下面的两段文字

律数:九九八十一以为宫。三分去一,五十四以为徵(zhǐ)。三分益一,七十二以为商。三分去一,四十八以为羽。三分益一,六十四以为角(jué)。黄钟长八寸七分一,宫。大吕长七寸五分三分一。太蔟长七寸七分二,角。夹钟长六寸一分三分一。姑洗长六寸七分四,羽。仲吕长五寸九分三分二,徵。蕤宾长五寸六分三分一。林钟长五寸七分四,角。夷则长五寸四分三分二,商。南吕长四寸七分八,徵。无射长四寸四分三分二。应钟长四寸二分三分二,羽。

生钟分:子一分。丑三分二。寅九分八。卯二十七分十六。辰八十一分六十四。巳二百四十三分一百二十八。午七百二十九分五百一十二。未二千一百八十七分一千二十四。申六千五百六十一分四千九十六。酉一万九千六百八十三分八千一百九十二。戌五万九千四十九分三万二千七百六十八。亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。


十二律管

在上面的《史记》引文中第一段描述了古代宫、商、角、徵、羽这五个音的比例数字以及黄钟”“大吕等作为度量衡标准的十二支律管的长度(参见图14)第二段文字中子、丑、寅、卯……十二地支对应的那12 数目字如果用现代符号表示是一个由分数构成的序列


《史记·律书》中为什么会出现这样一串分数呢它们和音乐又有什么关系呢我们将在本书的后面给出问题的答案

毕达哥拉斯
毕达哥拉斯(Pythagoras约公元前570约前490)古希腊哲学家、数学家、科学家

古希腊学者毕达哥拉斯相信万物皆数毕达哥拉斯学派认为几何图形的完美、天体运行的协和以及音乐的悦耳动听归根结底是数的和谐古希腊哲人提出的所谓四艺 (quadrivium就是算术、音乐、几何和天文它们都被看作数学的分支无独有偶中国古代的六艺”——礼、乐、射、御、书、数同样包含了音乐和数学

数、几何与音乐

中左边那个由四行十个点形成的等边三角形就是所谓的四行圣十 (tetractys)毕达哥拉斯学派认为这个图形具有神秘的力量是他们秘密崇拜的符号从数学上讲这个等边三角形是第四个三角数(三角数Tn定义为前自然数连加之因此有T1 = 1T2 = 3T3 = 6T4 = 10T5 = 15)的几何表示而图的右边显示了这些数的比例与音乐中几个协和音程之间的关系当乐器两根弦的长度比例是简单的整数比时它们同时发出的声音是和谐的例如两根弦的长度比等于它们发出的声音构成纯八度音程而当弦的长度比分别为3发出的声音构成完美协和的纯五度和纯四度音程

布尼
(Leibniz16461716)德国数学家、哲学家和历史学家

近代以来的许多著名学者都认为音乐与数学之间存在着密切的联系莱布尼茨在1712 17 日给哥德巴赫((Goldbach16901764德国数学家)的信中写道我们从音乐中得到的愉悦来源于计算无意识地计算音乐不过是无意识的算术

西尔维斯特
(Sylvester18141897)英国数学家

英国数学家西尔维斯特在他的代数学论文中指出难道不能把音乐描述成感知的数学而把数学描述成推理的音乐?它们的灵魂是相同的

迪厄多内
(Dieudonné19061992)法国数学家

布尔巴基学派的重要成员迪厄多内曾经为非数学专业的人写过一本介绍数学的书其英文译本的标题就是《数学——推理的音乐》

德彪西
(Debussy18621918)法国作曲家

许多音乐家也都认为音乐与数学关系密切法国印象主义作曲家德彪西曾经说过音乐是声音的算术就像光学是光线的几何

斯特拉文斯基
(Stravinsky18821971)俄罗斯作曲家、钢琴家、指挥家

在被问及你是否认为音乐的形式多少有些像数学的问题时俄罗斯作曲家斯特拉文斯基回答说无论如何数学都远比文学来得更加接近于音乐——也许不是数学本身但肯定是像数学思维和数学关系之类的东西

他们这些说法有什么根据呢这就需要请数学出来说话了

欢迎您进入——


音乐中的数学







本文摘编自《音乐中的数学》(王杰著.北京科学出版社20258)一书“章音乐与数学”。

ISBN 978-7-03-082773-9
责任编辑李  欣 培培

本书从音乐理论和实践中提出的若干问题出发介绍音乐背后的数学知识用这些数学的结果来揭示音乐现象背后的道理例如从钢琴调音引出的与律制相关的数学知识又如不同乐器的音色是不同的其原因涉及振动方程的解这个解就对应着音乐中非常重要的“泛音列”概念它和古琴的徽位、呼麦的发声原理等都有着直接的联系再如旋律中的对称是其变化和发展的一个重要手段而要描述和研究这些对称就不可避免地要引入数学中的群论此外书中提到了许多音乐家和科学家、数学家介绍了他们对于音乐与数学的看法和论述也涉及一些他们鲜为人知的故事

本书适合广大具有高中及以上文化程度的读者阅读也可作为大、中学校通识教育或者素质教育相关课程的参考书

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(本文编辑:刘四旦)

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