北大王杰教授：音乐与数学- 大数跨境

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北大王杰教授：音乐与数学

科学出版社

2025-09-23

音乐是一门听觉的艺术，用音符打动人心。数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式。这样看来，似乎音乐和数学之间很难扯上联系。但是如果你耐心读完这本小册子，也许就会有不一样的想法。

音乐中的数学

王杰著

北京：科学出版社，2025.8

ISBN 978-7-03-082773-9

本书从音乐理论和实践中提出的若干问题出发，介绍音乐背后的数学知识，用这些数学的结果来揭示音乐现象背后的道理。

这本书是讲音乐与数学的。

音乐是人类生活的一部分。大概每个人都会有自己喜欢的音乐——古典或者流行、民歌或者摇滚……，据说人们喜爱音乐是有科学依据的：当你听到自己喜欢的音乐时，大脑里会释放出一种“快乐物质”——多巴胺，它会使你产生愉悦感。数学是我们从小就开始学习的一门功课。但是不少人都觉得数学抽象、枯燥、乏味。和音乐相比，也许你不仅不喜欢数学，甚至还有些害怕数学。既然如此，怎么会把数学和音乐放在一起讲呢?

这正是我们这本小册子想告诉你的。音乐和数学其实有着密切的联系，优美和谐的音乐背后有着许多数学道理。如果你愿意的话，就请跟随我们一起来探索音乐背后的数学吧！

贾湖骨笛(约公元前7000—前5800 年)

带刻线的骨笛

在中国的河南省舞阳县，有一处新石器早期的文化遗存——贾湖遗址。从20 世纪80 年代开始，在那里陆续发掘出数十支用鹤类的尺骨做成的骨笛。根据考古学家的研究和测定，这些骨笛的年代大约为公元前7000—前5800 年，也就是距今约9000—7800 年。这些骨笛大多有7 个孔，可以吹奏出完整的六声和七声音阶。不仅如此，“不少骨笛的音孔旁尚存钻孔时设计音孔位置的横线刻记。可以看出，开孔前的刻线显然是根据某种特定的比例关系计算好了的”。可见早在远古时代，我们的祖先在做笛子的时候就知道需要先计算一下，然后再去开孔。音乐与数学已经发生了联系。

司马迁

(公元前145 或前135—?)，字子长，夏阳(今陕西韩城南) 人，史学家、文学家、思想家

司马迁的《史记》是大家都知道的。但鲜为人知的是，《史记》中记载了音乐与数学之间的关系。在《史记》卷二十五《律书第三》中有下面的两段文字：

律数：九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵(zhǐ)。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角(jué)。黄钟长八寸七分一，宫。大吕长七寸五分三分一。太蔟长七寸七分二，角。夹钟长六寸一分三分一。姑洗长六寸七分四，羽。仲吕长五寸九分三分二，徵。蕤宾长五寸六分三分一。林钟长五寸七分四，角。夷则长五寸四分三分二，商。南吕长四寸七分八，徵。无射长四寸四分三分二。应钟长四寸二分三分二，羽。

生钟分：子一分。丑三分二。寅九分八。卯二十七分十六。辰八十一分六十四。巳二百四十三分一百二十八。午七百二十九分五百一十二。未二千一百八十七分一千二十四。申六千五百六十一分四千九十六。酉一万九千六百八十三分八千一百九十二。戌五万九千四十九分三万二千七百六十八。亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。

十二律管

在上面的《史记》引文中，第一段描述了古代“宫、商、角、徵、羽”这五个音的比例数字，以及“黄钟”“大吕”等作为度量衡标准的十二支律管的长度(参见图1。4)。第二段文字中，“子、丑、寅、卯……”十二地支对应的那12 个数目字如果用现代符号表示，是一个由分数构成的序列

《史记·律书》中为什么会出现这样一串分数呢? 它们和音乐又有什么关系呢? 我们将在本书的后面给出问题的答案。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570—约前490)，古希腊哲学家、数学家、科学家

古希腊学者毕达哥拉斯相信“万物皆数”。毕达哥拉斯学派认为，几何图形的完美、天体运行的协和，以及音乐的悦耳动听，归根结底是数的和谐。古希腊哲人提出的所谓“四艺” (quadrivium) 就是算术、音乐、几何和天文，它们都被看作数学的分支。无独有偶，中国古代的“六艺”——礼、乐、射、御、书、数，同样包含了音乐和数学。

数、几何与音乐

图中左边那个由四行十个点形成的等边三角形就是所谓的“四行圣十” (tetractys)。毕达哥拉斯学派认为这个图形具有神秘的力量，是他们秘密崇拜的符号。从数学上讲，这个等边三角形是第四个三角数(三角数T_n定义为前n 个自然数连加之和。因此有T₁ = 1，T₂ = 3，T₃ = 6，T₄ = 10，T₅ = 15)的几何表示。而图的右边显示了这些数的比例与音乐中几个协和音程之间的关系。当乐器两根弦的长度比例是简单的整数比时，它们同时发出的声音是和谐的。例如两根弦的长度比等于2 : 1 时，它们发出的声音构成纯八度音程; 而当弦的长度比分别为3 : 2 和4 : 3时，发出的声音构成完美协和的纯五度和纯四度音程。

莱布尼茨

(Leibniz，1646—1716)，德国数学家、哲学家和历史学家

近代以来的许多著名学者都认为音乐与数学之间存在着密切的联系。莱布尼茨在1712 年4 月17 日给哥德巴赫((Goldbach，1690—1764，德国数学家)的信中写道：“我们从音乐中得到的愉悦来源于计算，无意识地计算。音乐不过是无意识的算术。”

西尔维斯特

(Sylvester，1814—1897)，英国数学家

英国数学家西尔维斯特在他的代数学论文中指出：“难道不能把音乐描述成感知的数学，而把数学描述成推理的音乐？它们的灵魂是相同的！”

迪厄多内

(Dieudonné，1906—1992)，法国数学家

布尔巴基学派的重要成员迪厄多内曾经为非数学专业的人写过一本介绍数学的书，其英文译本的标题就是《数学——推理的音乐》。

德彪西

(Debussy，1862—1918)，法国作曲家

许多音乐家也都认为音乐与数学关系密切。法国印象主义作曲家德彪西曾经说过：“音乐是声音的算术，就像光学是光线的几何。”

斯特拉文斯基

(Stravinsky，1882—1971)，俄罗斯作曲家、钢琴家、指挥家

在被问及“你是否认为音乐的形式多少有些像数学”的问题时，俄罗斯作曲家斯特拉文斯基回答说：“无论如何，数学都远比文学来得更加接近于音乐——也许不是数学本身，但肯定是像数学思维和数学关系之类的东西。”

他们这些说法有什么根据呢? 这就需要请数学出来说话了。

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音乐中的数学

本文摘编自《音乐中的数学》（王杰著.北京：科学出版社，2025. 8）一书“第1 章音乐与数学”。

ISBN 978-7-03-082773-9

责任编辑：李欣范培培

本书从音乐理论和实践中提出的若干问题出发，介绍音乐背后的数学知识，用这些数学的结果来揭示音乐现象背后的道理。例如从钢琴调音引出的与律制相关的数学知识。又如，不同乐器的音色是不同的，其原因涉及振动方程的解，而这个解就对应着音乐中非常重要的“泛音列”概念，它和古琴的徽位、呼麦的发声原理等都有着直接的联系。再如，旋律中的对称是其变化和发展的一个重要手段，而要描述和研究这些对称，就不可避免地要引入数学中的群论。此外，书中提到了许多音乐家和科学家、数学家，介绍了他们对于音乐与数学的看法和论述，也涉及一些他们鲜为人知的故事。

本书适合广大具有高中及以上文化程度的读者阅读，也可作为大、中学校通识教育或者素质教育相关课程的参考书。