席南华、付保华、郑维喆主编《认识数学4》：让读者窥见数学的丰富和引人入胜

对称是世界的一种深刻的存在，以不同的面目在不同的层次上出现，从直观的形到物理定律背后的对称，宏观的世界，微观的世界，有机的世界，无机的世界，都能看到对称的存在，其本质是一些变换下的不变性。

在探索古老作图难题的过程中，几何、代数、数论乃至分析都交织在一起，看似迥异的对象之间显现出微妙而深刻的联系。这种联系是数学中经久不衰的主题，不断孕育着新的视角和思想。

实数可以分为有理数和无理数。√2 和π (圆周率) 都是无理数，然而直觉告诉我们这两个数之间似乎存在某种区别。超越数就是这样一类比√2 更加“无理” 的无理数。

数学，兼具古老渊源与时代新潮，以其自然与深奥，展现出一种永恒的美。从古老的丢番图方程，到高斯优雅的二次互反律，再到宏伟的朗兰兹纲领；从三次方程的求解，到椭圆曲线理论的构建，这条清晰的脉络最终将我们引向数论皇冠上的明珠——深邃而令人敬畏的BSD猜想。

实数是整个数学中一个非常基本的概念。如果搞不清楚它，那么其他的基本概念就会陷入类似于“先有鸡，还是先有蛋” 的逻辑困境，或是必须诉诸某种先验的“几何直观”。很好地定义实数，其实是数学中一个非常基本也非常重要的问题。

三角形与椭圆都是最基本的数学对象，但两者的携手则发展出了许多漂亮而深刻，甚至让人拍案叫绝的成果。故事的主人公斯坦纳与彭赛列都是历经磨难，最后在逆境中不畏艰难，勇于开拓，最后化茧成蝶，证明了令人敬仰的成果。

打结看似稀松平常，老少皆知，实则蕴藏着极丰富的实用知识、极浓厚的文化与艺术底蕴以及不断增长的巨大科学价值。数学看打结，我们拨开千姿百态结的神秘面纱……事实上，打结的数学——纽结理论已发展成为拓扑学这个重要现代数学分支的一个十分引人入胜的研究领域，并在生物化学、合成化学、应用物理、量子拓扑计算、理论物理和信息等多学科交叉中更是大放夺目光彩。

我们理所当然地认为中学学的平行公理——对一条直线外的点，有且仅有一条直线过这个点且与原来的直线平行——是确切无疑的，理所当然的。但是数学家经过逾千年的探索，终于发现没有这条公理的几何是存在的，而且我们的现实世界的空间就不符合这条公理。这当然是难以置信的事情。这个探索的时间跨度很大，给数学和科学都带来巨大的进步。

我们的生活充满了偶然性，人们必须要在观念上放弃一部分确定性，一旦放弃寻找确定性的唯一正确解，而能够接受大概率的几乎正确解，很多问题就会柳暗花明，会让我们看到一个新的世界。