懂教育 | 深入谈谈学好数学（2）

数学思维不是解题技巧，无法通过短期训练来完成培养；数学思维是更高层次的提炼，需要长期滋养。”

从2011年教育部的课程标准开始，“数学思维”这个词在课程标准和各种专著中被广泛提及。在2022年课程标准中，数学思维、计算思维等被明确写入了教学目标。

这样改革是为了解决一个长期困扰我国科技发展的问题，也就是被人称为“丘成桐之问”。著名数学家丘成桐提过一个问题：为什么那么多中国学生在拿到奥数金牌之后，在大学阶段并没有做出成绩？他在哈佛大学带过很多博士生，很少有中国学生能做出顶级的成就。

丘成桐和他的导师陈省身认为，他提到，“一个国家数学的真正兴起不在于跟随其他国家的学者做修补工作，而在于自己走出一个重要的科研方向”。换句话说，国家需要的不是做题的能力，而是提出问题的能力。

反思我们的数学教育，很长一段时间里，把解体方法当数学能力。考试只是考固定的模式，选拔出来的都是做题家。现在国家看到了这个问题，从教学目标到高考改革，都是要提升数学思维的重要性。

提升数学思维，是去创造更美好的世界，而不是去快速解出一个别人已经知道的答案，当一个手脚更麻利的做题家。

为了更好的理解什么是数学思维，我们举个例子，对于一元二次方程的求解，中国比西方的研究早了几百年，汉代就可以求解立方根了。但是对于没有实数解的情况，比如一个抛物线

尽管这个函数可以被视为一个实际机械振动的模型，但它对应的一元二次方程，没有实数解。中国古代的数学家就没有继续研究它。

直到文艺复兴时期，意大利数学家构想出来一个“虚数”——就是存在一个抽象的，虚幻的数。数学家归纳已有的运算，去类比这个虚数的运算法则，这个原来无解的方程因此也有了"虚数解"。

后来人们发现，这个本来不存在的虚数解，其实创造出来一个数的“旋转”法则。这就不是解题，是创造了！

现在我们都知道，虚数改变了现代数学，每一个工程领域都离不开因复数而生的“复变函数”。

数学思维在这里就是一种创造，它用归纳和类比去做演绎，去创造新事物。而归纳、类比、演绎这些数学思想都是被写入小学数学教学标准的思想和方法。

根据儿童发展心理，教育部把小学阶段分成了三个学段，在小学的三个学段中，培养数学思维的重点各有不同，以下是每个学段的关键重点：

第一学段（1-2年级）:

- 运用运算意义解决问题：在这个阶段，重点是让学生通过实际问题来理解基本的数学运算，如加减法，以及它们在现实世界中的应用。

- 感悟模型：学生开始接触简单的数学模型，如数线，以及如何使用这些模型来解决问题。

第二学段（3-4年级）:

- 提炼常见数量关系：学生在这个阶段学习识别和理解更复杂的数量关系，如倍数关系和比例关系。

- 建立并应用模型：学生学习如何建立数学模型来解决问题，例如通过图形的周长和面积计算来解决实际问题。

第三学段（5-6年级）:

- 用字母表达模型：学生开始使用字母来表示未知数，这是代数思维的基础。

- 进一步应用模型解决问题：在这个阶段，学生将学习如何使用更复杂的数学模型，包括代数表达式和方程，来解决更高级的问题。

在整个小学阶段，教师和家长都应该鼓励学生通过观察、实践操作、类比辨析等多种方式来培养数学思维。关键就一句话：学会它，不是记住它。

除了学校的规划，课外如何培养数学思维，这是今天分享的核心，下面都是我们依照儿童发展心理，结合教学得出的最佳实践指南。

一，从幼儿时期就应该抓住孩子对数量数字、物品形状的敏感期，通过各种感官游戏来培养数感，例如蒙台梭利的数学教具对幼儿来说就是很好玩的玩具。

对于学前儿童，还应该引入对抗性的游戏，例如棋类或者纸牌类都可以给孩子进一步思考的习惯。因为在这些游戏中，孩子不仅仅要想这一步怎么办，还要想下一步怎么办。这对幼儿是非常好的思维训练。

二、小学第一学段就可以开始深入讨论运算规则。例如，孩子学习9+1=10的时候，问一下为什么？这实际上是十进制的表达而已，可以趁机引入多种进制的概念。例如在24小时进制里，23点加1个小时等于0点。日常生活中还有二进制、星期的七进制、一打十二进制等等。

游学堂经常提醒家长不急告诉孩子规则，让孩子们用各种方式去发现规律，数学课就应该是奇妙探险之旅。

给一二年级学生讲数制的位值原理，这是很挑战的事情，但是游学堂的实践证明，每个孩子都能听懂并理解，而且在日后的学习中，他们能够更好地将其运用在数论问题。

三、进入小学第二学段就可以让孩子用自己的话解释数学规则了。比如对于去括号的原理，让他们讲讲为什么要改变符号。

小学三四年级，是开启逻辑推理的敏感期。这时候把科技活动，例如机器人或者编程活动引入数学课堂，这会让孩子觉得数学更有趣。

这个时期也是发展孩子动手能力的好时机，游学堂在户外营地里开设的折纸、积木这些活动，对发展空间想象都是必不可少的。

四、小学高年级，也就是第三个学段，孩子们的抽象能力开始爆发。按照儿童心理发展学的奠基人皮亚杰的观点，十一二岁是抽象能力的敏感期。

所以从算术运算抽象到代数运算，在课程中就是安排在这个时期完成的。例如方程思想、函数思想和模型思想，也是在这个时期引入效果最好。

如果孩子要学奥数，冲刺海外的AMC等竞赛，从这个时间段也是最合适的。太早了，大部分孩子都不理解不了字母运算；太晚了，孩子上了中学后又不一定有时间。

顺便说一句，游学堂社区还拿了美国数学协会颁发的优秀学校奖杯呢。

五、进入初中，让孩子写思考过程是非常锻炼数学思维的方式。很多初中现在开展了数学小论文的活动，这种花两三个星期完成一个题目的深入讨论，其实是非常值得的一件事。不夸张的说，如果没有经过这样的思考，很多孩子到初三都掌握不好动点问题。

初中有很多提升数学思维的方式，我们验证过比较成功的还有数学实验，通过图形计算器等工具，带着孩子探索数学世界。当孩子享受思考的乐趣时，数学思维就在他们脑海中生根发芽了。

六、高中阶段，没有比数学建模竞赛更能提高数学思维的事情了。把学到的知识用起来，抱着一个问题去学数学，在数学建模活动中能得到的锻炼是多方面的。

对数学思维的培养是需要长期投入的，这里简单的介绍肯定无法完全展现要点，而且有很多细节需要家长慢慢体会。这里分享一个很重要的策略：先整体再细节。

在大部分教科书中，介绍一个系列的数学概念，都是讲透彻一个，再接着讲下一个。但是对于大部分学生，先给出全貌，再一层层细化，这样效果更好。

下面这两行图片，用图片下载的两种方式，演示了这两种讲述方式👇

早期的下载模式，如第一行展示的方法，就是既然讲了一点点，就把这一点搞清楚。局部看得很清楚，但是看不到全局。第二行是现在的下载方式，先讲个模糊的全景，然后逐步给出细节。

当孩子没有全局观的时候，学习很容易陷入迷茫，不知道学这个东西有什么用。游学堂每学期第一节数学思维课，会先给孩子画个整体的图册，让孩子先知道这学期学什么，从哪些知识深化而来，以后还会在哪里用到。这张图在实践中取得了非常好的效果。

这些就是对如何培养数学思维的一点浅浅的介绍。

在日常学习中，孩子很容易感受到学习成绩的影响。所以下一篇我们先介绍提高成绩的简单方式，之后我们会再继续补充提升数学思维的具体实践方法，例如讲题目的ADEPT法则等等。