【数据科学之基础思维系列】第1讲：向量简介

欢迎回来。从本期开始，我们将开启「数据科学的基础思维」的系列篇章，以数学为基础，以应用为目标，简洁、清晰、系统地带你学会数学思维不可或缺的真谛。

在开始之前，咱们先讲个小故事。

❝

谷歌的研究总监做了一个小实验，把一组相同的数据分给「数据科学家、统计学家、数学家」三人去分析，总监是这样想的：即使不同方向的科学家可能采用不同的方法，但是最终三人分析出的结果应该是一样的。可是，实际情况却大相径庭

「数据科学家」把全部的数据都拿来分析，并且构造了一个非常复杂的数学模型。

「统计学家」只是用了其中1%的数据来分析这组数据的特征。

「数学家」则是做了一系列的推导和证明。

❞

可见，对于相同的数据，不同领域的研究者都有自己独到的见解和方法。

那么怎么样的方法是最合适的呢？

❝

这就需要「数学统计方法+应用实践」相辅相成啦。

❞

这也就是本系列讲义的初衷。好啦，接着，咱们开启今天的第一讲，「线性代数之向量简介」。

壹 线性代数有何用

大数据时代，我们的原材料就是数据，为了从数据中提炼出知识乃至升级为智慧，至少得知道数据的形式。

1.以抽象的视角看待世界

线性代数则赋予了我们一个这样看待数据的能力：「以抽象的视角看待世界」！

大家在使用C语言、Python、R语言等进行编程时，应该深有体会。但凡要对数据进行处理，基本上都要保存为「线性代数」中的向量、矩阵、数组等形式。

那么它到底是怎么从抽象的视角来看待世界呢？

无非就是将我们世界万物转化成计算机能够处理的形式，如同毕达哥拉斯所言“万物皆数”。数学思维奇妙夜-直播回顾

数字，包括由数字扩展而来的向量、矩阵和张量，都是计算机能够识别和处理的。世界万物，只要能转化成数的形式，都可以量化，都可以用「计算机运算」。

我们将其转化成数的形式，所有那些模糊、抽象的概念，都可以量化表示。有了这个工具，处理数据的一些方法才有用武之地。

2.以运动的视角来观察世界

数字的世界是静止的，而向量的世界是运动的。

现实世界中，「很多不规则的运动很难用数字表示」，比如运动员某一时刻的运动状态，用数字还勉强可以记录，但是如果是连续的运动状态，用一个数字就很难记录了，因为一个数字没有方向，我们也称这类数字为标量。

此时，用向量记录就很方便，「因为向量本身既具有大小，又具有方向」。而且向量中的每个元素都可以继续扩展成向量，这时向量就变成了「矩阵」。矩阵中的每个向量也继续扩展成向量，矩阵就变成了「张量」。「向量、矩阵、张量」这些都是线性代数研究对象的基本形式，能够更好地描述复杂的运动。

用一个魔方，可以直观形象地描述「标量、向量、矩阵、张量」之间的关系。

举个例子，比如1，2，5这些「标量」，每一个数字就是一个元素，「将其排列为一组，就变成了一个向量」。也就是说从一个标量到向量，就是从一个「静态」到一个「动态」的状态。

如果把向量看成静态的话，我们接着去扩充每一个向量中的元素，把之前每一个元素扩展为一个向量，比如 5 那个位置就用三个蓝色方块取代了，于是我们就得到一个 阶的矩阵，也就是「魔方最底下的那一层」。

接着，「矩阵」里的每个元素继续用一个向量去填充，我们就得到一个三维的张量，也就是图中这个魔方。

标量和向量，一个是静态的，一个是动态的。向量和矩阵之间是也是从静态到动态的变化，「矩阵到三维张量」，同样如此。

从静态到动态，每一次都是相对而言的。

罗马不是一日建成的，每一个元素就相当于是一块砖头，恰好就是我们需要的，将一块一块砖头垒起来......

贰 向量的概念

1.什么是向量？

「向量」：具有「大小」和「方向」的量，是一个矢量。

如果你尝试解决立体几何问题，可是想象力不足，怎么办？向量就是一个好工具！

在平面坐标系中， 点到 点的量就是一个向量。用 表示，它既包含了从 到 的方向，也包含了从 到 的大小。

，「向量具有方向性」，所以从 指向 与从 指向 是不同的，即

这种方式为坐标表示法。

线性代数的向量用的就是「坐标表示法」。仍以二维平面为例，有时我们看到的向量是 形式的。怎么看起来像一个坐标点呢？它还是向量吗？

现在，请跟我一起移动一下向量 ， 将 点挪到原点 。

虽然位置不同，但是此时 与 表示的是同一个向量，因为它们的大小和方向完全相同。

所以，一个坐标点就可以表示我们刚才的向量，只不过表示的是起始点在原点的向量而已。

在我们常见的坐标空间中，「点和向量是一一对应的」。我们可以通过加个箭头表示向量 ，也可以通过粗体的方式来表示，比如 。

我们最熟悉的就是一维、二维、三维空间。宇宙到底是几维的，我们尚无从得知。不过「丘成桐先生」提出的“卡拉比-丘”空间是六维的。

「“卡拉比-丘”」 空间看起来就像一个攥成团随手扔掉的纸团，可实际上空间中的迂回曲折和翻转可比你那随手一攥，拧出来的形状复杂多了，它们就像一条条龙，盘旋、翻绕、或许再打个滚，揉个环，「丝毫没有一种规则可以用传统的欧几里德几何描述」。

我们常常用于处理的数据也是多维的，或许无法直观感受，可是我们可以从特征的角度来理解。比如要形容一个人的面容，「包括额头的宽度、眉毛的长度、眉心的间距、鼻梁的高度、嘴唇的厚度等，这里每一项都是一个特征，对应的就是多维向量」。

2.如何表示向量？

向量有「行向量」和「列向量」之分，简单一想，行向量就是元素按行排列

因为“行”这个字的右半部分，就写了两条横线嘛。

列向量自然是元素按照一列排下来

因为“列”这个字的右半部分，写了两条竖线。

温馨小提示：在各种教科书里，所涉及到的向量通常采用列向量的形式，而在python等编程时，常常默认的是行向量。

举个例子：咱们来看看这个表格，它表示的是「不同品牌的电脑在不同地区的销售量」，对应的有「品牌」和「地区」两个「双因素」。

那么列因素和行因素分别是什么呢？

对于「列因素而言」，就是在竖直方向上，某一地区的不同品牌的销售量。

「行因素」就是水平方向上，某一品牌在不同地区的销售量。

3.特殊的向量

零向量

最常见的特殊向量莫过于「零向量」啦，它代表了每一个元素都是0，以下是一个 维的零向量：

此处上标 表示转置，也就是行列位置互换，此处用以表示列方向的零向量。

❝

那么「零向量」是有方向的还是无方向的呢？

❞

向量是矢量，一定是有方向的，所以「零向量有方向的」，但是它的方向是不确定的。如同我们所拉行李箱的那个万向轮，360度，各个方向都都属于它。

在计算机中，零向量都是默认以行向量的形式，举个例子。

在Python中输入：

a = np.zeros(6, dtype =int)
print(a)
#[0 0 0 0 0 0]

因为python语言里是从0开始记数的，假如要把其中的第2位改成1，就需要输入：

a[1] =1
print(a)
#[0 1 0 0 0 0]

单位向量

「单位向量」代表模等于1的向量。

向量的模用以表示向量的大小，假如向量

它的模定义为

即向量的各元素平方和的平方根。之后，我们会发现，也其实就是一种范数定义。

对于一个非零向量 ，要想得到一个单位向量，只需要除以它的模即可。

特别地，「标准单位向量」是指，向量中只有一个元素为 1，其余元素都是 0。比如

举个二维的例子，两个坐标轴的方向，分别可以用标准单位向量表示：

这里 和 可以决定坐标系，是这个二维空间的一组「标准正交基」。

全 1 向量

「全 1 向量」代表所有元素都是 1 的向量。

a = np.ones(6, dtype =int)
print(a)
#[1 1 1 1 1 1]

稀疏与稠密

「稀疏向量」代表是大多元素为 0 的情况。比如之前介绍的标准单位向量就是稀疏的。因为它只有一个元素是非 0 的。

生活中，稀疏的场景也是非常多的，比如现如今统计的新冠致死率，一个病人的死亡可能是多方面原因导致的，如果主要原因是新冠，才会归入统计人数中。死亡的主要原因只有少数几个，那么就是一个稀疏的情况。

再比如，电商销售的每一个产品，所对应的数据量特征也是非常多的，比如说是颜色、款式、价格、评价等等，但是我们肯定是要找到影响成交量的最主要特征。不然只会造成大量的累计误差。

❝

稀疏性告诉我们：必要时需要抓住少数的主要矛盾，忽略多数的次要矛盾。

❞

与之相反，还有稠密性。

❝

今莽草蜀道、襄、汉、浙江湖间山中有，枝叶稠密，团欒可爱。——《梦溪笔谈 药议》

❞

在《梦溪笔谈》中，第一次出现稠密一词，指量多且密度大。

「稠密向量」也是类似的含义，指多数元素是非零的。比如我们之前我提到的全1向量。

举个例子，比如有癌症患者需要化疗，化疗使得患者体内细胞中的分子发生变化，而且每个分子都会发生一个微小的变化，倘若我们用向量把每个分子的变化记录下来，那么这个向量中每个元素都是非零的，即使力量很微弱，可是汇聚起来，就能起到治疗的作用。

❝

稠密性告诉我们：团结就是力量！

❞

叁 向量的应用

向量的应用多种多样，以如下几个方面为例。

1. 位置与位移

对于向量和位移，相信大家并不陌生，在咱们的数学中就常常见到：

2. 图片颜色

咱们以「颜色」举个例子，在计算机中常用16进制来表示某一个颜色，16进制写为：「0123456789ABCDEF」依次代表了「0~15」，比如：FF0000，这里我们把这六位按两位拆开，分别对应的是:

然后呢，应用16进制来计算。

而 就代表了：

那这个数可以写成：「255,0,0」 正是用向量描述了颜色。

3. 投资组合

在投资组合方面，我们假设有 种投资模式 。

它的收益率可以写成 。

同理，对应的概率可以写成 。

那么求总的收益不就是计算期望那么简单？

4. 药方与菜谱

同理，凡是能用到这种组合的场景，都可以用到向量来轻松解决。

比如药方和菜谱的配比，也可以是分别将药或者菜谱的特性分为两类，来代入计算总得效果。

5. 时间序列

在时间序列上，如果我们想知道某一特征持续时长的作用，那么也可以利用到向量的内积，来计算中不同特征和其所对应时长下的总体影响。

6. 文本分析

在文本分析上，最熟悉的莫过于词云的生成。文本中统计关键词的词频，就是以向量的形式呈现。

看完这些例子，相信大家就能触类旁通了，用向量可以代表我们生活中各种场景下的数据特征。

好啦，这期的开篇就到这里，下期我们继续说说向量的「外积、范数和距离等」。感兴趣的小伙伴记得「点赞+关注+在看」，谢谢你的支持哦~