【十分钟 机器学习 系列课程】讲义（83）：线性条件随机场的矩阵形式

壹 如何理解矩阵形式？

首先，我们先来回顾一下，对于线性链条件随机场的表达形式都有哪些。

一开始，我们先从「最大团」入手，了解了条件随机场的普通形式，然后以「边或结点的特征函数」为对象，学习了参数化形式，那么本期，矩阵形式的关注点又是什么呢？

答案在于「关注落在 上」。也就意味着，对于线性链条件随机场而言，不同的关注点则会引出不同的表达形式。

1.加入虚拟起始点和结束点

那么，我们先来看张图，通过给原始的线性链加上 和 ，可以认为是「虚拟的起始点和结束点」，这样我们就可以用通用的表达式来进行统一的表示。

接着，咱们就用矩阵来表示这条线性链吧！首先，定义这个矩阵为 ，它代表了 阶的矩阵，注意此时 。

对应的结点和边的特征都可以表示在这个矩阵中，这里我们把上期推导出的简化表达式先搬过来：

然后对于矩阵 中的元素就有：

它代表了从第 结点的转态转移到第 结点的状态时发生的「条件概率」值。

我们把大括号里面的简化一下：

2.用矩阵形式表示

然后，我们把矩阵里每个元素连乘后进行规范化处理，就得到了总的条件概率分布：

注意哦，因为有虚拟结束点，所以连乘要到 位，并且这里的规范化因子为「将所有转移概率分布求和」，这里自然是对矩阵求积，方能得到所有位元素相乘求和后的值。

接着，咱们就来以一道例题入手。

贰 例题讲解

1.题目解读

❝

给定一个由图11.6所示的线性链条件随机场，观测序列 ，状态序列 ， ，标记 ，假设 ，各个位置的随机矩阵 分别是

试求状态序列 以start 为起点stop 为终点所有路径的非规范化概率及规范化因子。

❞

这里的观测序列，状态序列都是给定的已知量，题干中已经有了start 和stop点，可以简单绘制出对应的线性链如下：

那么四个矩阵就分别代表了什么含义呢？

很简单，由于这里的状态序列 ，那么矩阵里就有 四种转移特征，对应的 为从第 结点转移到第 结点：

注意，由于「start」时的状态已经标记为 ，第二行自然均为 ， 那么从第 结点状态 转移到第 结点，要么转为状态 对应的概率为 ，要么转为转态 ，对应的概率为 ，同样，由于「stop」结点的状态也确定好了，所以对应的 最终都是要转移到 上，所以第一列均为 ，其余位为 。

类似的，同「HMM模型」类似，每个状态下的转移概率矩阵就一目了然了：

「 」 中各元素的含义：

❝

• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率；
• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率；
• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率；
• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率。

❞

「 」 中各元素的含义：

❝

• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率；
• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率；
• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率；
• 为第 结点状态为 转移到第 结点转态为 的概率。

❞

因为首末端的转移状态只有1种，而从第 结点到第 结点的转移状态有2种，我们就能枚举出对应的转移状态线路，就有 种组合。

对应每条转移线路的非规范化概率就为对应概率的乘积，这里我们用八种颜色直观的看一下对应的线路：

然后我们分别把对应的概率相乘就得到了「非规范化概率」：

而规范化因子就是八个转移概率之和:

好啦，关于「线性条件随机场的矩阵形式」就介绍到这里，下一期我们继续讲讲「线性条件随机场的概率计算问题」，感兴趣的小伙伴也可在 B 站上同步看视频学习，如果这个免费讲义对你的学习有所帮助，请帮助我们推荐给更多的朋友，回复「入群」，也可以加入我们的学习来哦！我们下期不见不散。