【数据科学之基础思维系列】第5讲：矩阵的范数、变换及卷积

欢迎回来。这里是数学科学思维系列，旨在帮助大家快速梳理「向量、矩阵、积分、微分、函数、优化、概率」等数据科学的基础内核。 上一期【数据科学之基础思维系列】第4讲：矩阵和矩阵运算，我们给大家系统的梳理了「矩阵和矩阵运算」的相关要点，那么这期我们继续说说「矩阵的范数、核心变换和卷积的概念」。

壹 矩阵的范数

在数据科学系列第2讲【数据科学之基础思维系列】第2讲：向量的基本运算和范数中，我们给大家介绍了向量的范数，其本质在于对「距离」的数学描述，那么矩阵的范数是不是也有同样的含义呢？答案是肯定的，并且大家要记住「范数一定是非负的」。

1.矩阵的范数

的 范数

那么，我们的思路就是从向量的范数入手，计算出矩阵的范数来。

这里的 该如何理解呢？它代表了矩阵通过与若干个任意向量计算后，选择「其中的最大值」作为当前的范数。

的 范数

它和向量一样，代表了求出矩阵中非零元素的个数。

比如对于下面的矩阵而言，其 范数为 。

的 范数

范数又称为「列和范数」。 假如我们现在有一个 的矩阵：

那么列和代表将每列进行绝对求和，即计算出 这 列元素的绝对值之和，然后从中取最大值作为矩阵 范数，记为：

的 范数

有了列和范数，自然也有「行和范数」，称为 范数。

意味着对每行绝对求和后取最大值，即计算出 这 行元素的绝对值之和，然后从中取最大值作为矩阵 范数，记为：

的 范数

范数又称为「谱范数」，它的应用非常广泛，记为：

这里的 是矩阵 的最大特征根，计算公式为：

那么它的应用是什么？如果我们想要判断一个矩阵是不是病态矩阵？

可以用谱范数的条件数来计算：

如果是奇异矩阵，那么它对应的行列式为零，那么特征根 ，这样计算出的条件数 。

最后我们再说一个「F范数」。

F范数：Frobenius范数

这个范数的思路非常简单，即把 的矩阵变成一列向量，然后把每位数平方和相加后开根号，记为：

相当于我们忽略了它的行列特征，常会写成：

用这个式子就可以对一些对不需要矩阵行列的场景进行计算。

好啦，说完了矩阵的范数，接着，我们继续说说「矩阵的变换」。

贰 矩阵变换的含义和运算

1.如何理解矩阵变换？

矩阵变换关键在于「位置的跃迁」，那么这里的位置其实就是「向量」的形式。 比如现在有一个矩阵:

当它乘以向量

相信大家对上面的求解方法非常熟悉，它代表的本质内涵是：

❝

「通过矩阵乘以向量，最后则改变了向量的空间位置」，由向量 变为向量 ，换而言之，就是定了一组新的空间基之后，我们原来向量的坐标表达也发了变化。

❞

那么，这里的矩阵该怎么理解呢？咱们不妨代入数据举个例子。请大家观察下面这张图：

这是我们最熟悉的两组单位向量， ，那么注意哈，在之前的讲解中我们说过，向量常用列向量的形式，于是横轴对应的单位向量方向为 ，纵轴对应的单位向量方向为 。

将这两个列向量按照列合并为「矩阵」 ，也就是：

可以看出，因为我们采用的 就是常用的平面坐标系对应的向量基矩阵，所以向量 前后的坐标 并没有发生改变，可是一旦这个「矩阵」发生变化后，对应的坐标系也变了。如果我们要把一组二维的「平面向量」变成三维的「空间向量」时，很简单只需要给它乘以 维的矩阵即可。

2.如何应用矩阵变换？

「矩阵变换有什么用呢？」 举个例子，如果我们想对一个图像的进行变换，比如从变成关于横轴对称、关于纵轴对称、关于任意一条线对称，又或者想对图像进行等比例拉伸、缩小，或者是某一个方向的变化，那么其本质内核都在于在向量前乘以对应的「旋转矩阵」，比如下面这张图，从而实现变换。

这种思维在于可以将动态变化的二维图形用一个矩阵简单表示，只需要改变里面的数据就能实现图形的多重变换，搞清楚了目的，那我们就来说说如何运算。

3.矩阵的旋转

常见的旋转矩阵能实现「对称、伸缩、旋转、平移」等变换。

1.对称

那我们先从最简单的对称入手，比如以 轴、 轴、对角线曲线等翻转，如图我们想把哆啦A梦设为关于 轴对称的坐标系，那么该怎么得出这个矩阵呢？

很简单，只需要改变坐标系对应的列方向即可，将原来在第2列的基向量的 变为 。

对应的矩阵为：

同样的道理，继续关于 轴对称：

此时表示横轴方向的第1列就变成了 。

那么，当关于 轴对称时呢？自然就是将图片旋转90度，意味着横纵轴坐标发生对调，即把第1列和第2列对调。

而当关于 轴对称时呢？自然就是对调横纵轴的坐标后再都加上负号。

关于原点时，则对应的都为负号。

好啦，相信大家看完上面的图自然得到一个规律:「那就是用现有的单位向量去表示改变后的图，然后把横轴和纵轴的坐标分别竖着写在第1列和第2列里」。

4.矩阵的伸缩

但是到了矩阵的伸缩环节，我们就不能像上面的视角来理解。举个例子：如果想让图片等比例发生伸长 倍。这有两种思路，一种是图片不变，把我们原始的坐标系变成 倍，这样图片对于原始而言自然是放大了 倍。 比如下图：

而这里因为我们转换了坐标系，所以在新的坐标系里，其实是这样的：

另一种「坐标系不变」，而图片放大，可以写成：

这里，请注意，因为我们的旋转矩阵是要「改变原来的单位向量」，即「坐标系变化了」，因此，这样我们选择的是视角一，表达式为：

同理，如果是缩小 倍呢，就是：

如果想让图片在横轴和纵轴分别变换至原来的 倍，那么写成：

5.矩阵的旋转

现在如果我们把整个坐标系沿着逆时针旋转 ，那么还是用原来的坐标系表示新的横纵轴坐标，如图所示：

叁 卷积的概念

关于矩阵变换的应用非常常见，不过在此之前还需要大家明确卷积的含义。

1.向量卷积

❝

向量卷积： 维向量 和 维向量 的卷积为

❞

这里 和 可以写成：

所谓卷积自然是将满足 的组合相乘后相加。

咱们举个例子，

这里 ，而对应的 ，意味着一共有4组数，咱们分别令 ，则 可以等于 。

对于 ,只有分别令 才行。

对于 ,可以有令 和 。

对于 ，可以有令 和 。

对于 ，可以有令 。

❝

❞

2.向量卷积的应用

到这里，大家可能会觉得卷积的这个计算方式也过于复杂了吧，但是别急，如果我们是用矩阵来表达的话，可就非常简单了，令两个多项式分别为：

如果我们令：

对应的：

那么随着多项式维度的增加，这个计算量是非常大的，但是大家可以看出，这个多项式的系数恰好就是咱们卷积计算出的结果。

因此，我们可以把这些系数变成「矩阵形式」。

注意哦，这里是以 为向量的矩阵 ，整个运算记为 ，当然也可以是为 为向量的矩阵运算，写成 。

这里的矩阵发生了一个巧妙的规律，都是按照 依次移位。

我们把这类矩阵称为「Toeplitz特普利茨矩阵」。

那么，如果此时我们以 为向量在后面，那么前面的矩阵就会写成：

不知大家是否发现这个规律，「在特普利茨矩阵中，行向量的个数为 」 。

好啦，关于矩阵的变换和卷积的数学含义我们就先说到这里，下一期我们就要用一个「图像模糊化」的例子带着大家边说推导边敲代码，说卷积在图像应用中的方法。更新不易，喜欢这个系列的小伙伴请多多点赞支持，我们下期不见不散~