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时间序列分析浅谈

数据分析与开发

2022-02-25

导读：小白入门时间序列指南

2021年刚刚结束，小毛的便利店整体销量还不错，年末盘点时发现由于某种热销饮料库存大约缺少100箱，导致流失了部分营业额，因此小毛希望通过对历史年份销售数据的整理，对2022年进货量和销售额进行预测，合理制定2022年度购销计划，使2022年营业额迈向更高的台阶。小毛看着满眼的销售数据陷入了沉思……

在上面案例中，小毛的问题是通过历史销售数据来预测未来销售数据，在统计学领域，可以使用时间序列分析来解答他的问题。时间序列简单的说就是各时间点上形成的数值序列，通过观察历史数据的变化规律预测未来的值。

在这里需要强调一点的是，时间序列分析并不是关于时间的回归，它主要是研究自身的变化规律的。接下来，笔者就跟你浅谈一下时间序列分析。

时间序列分析的定义

1.1

概念

首先，时间序列定义为在一定时间间隔内按时间顺序测量的某个数量。时间序列分析是指将历史数据分解为四部分来看——趋势、周期、时期和不稳定因素，然后综合这些因素，提出预测。时间序列分为平稳序列和非平稳序列两大类。平稳序列是不存在趋势只存在随机性的序列，非平稳序列则是包含趋势、季节性和随机性的序列。

从最广泛的形式来说，时间序列分析是关于推断过去一系列数据点发生了什么，并试图预测未来会发生什么。时间序列分析试图了解过去并预测未来。

1.2

分类

通常，时间序列通常包含以下类型：

1、趋势-趋势是时间序列中一致的方向性运动。这些趋势将是确定性的或随机的。时间序列在长时间内呈现出来的长期上升或下降的变动；

2、季节性变化-许多时间序列都包含季节性变化。在代表业务销售或气候水平的系列中尤其如此。我们经常看到商品的季节性变化，特别是那些与生长季节或年度温度变化有关的商品（例如天然气）。

3、序列依赖性-时间序列（尤其是金融序列）最重要的特征之一就是序列相关性。当时间上相互靠近的时间序列观测值倾向于相互关联时，就会发生这种情况。

时间序列分析的步骤

时间序列预测的步骤是：

在开始平稳性检验步骤之前，我首先想和大家分享的是平稳性检验的目的。平稳性检验为了确定没有随机趋势或确定趋势,否则将会产生“伪回归”问题.伪回归是说,有时数据的高度相关仅仅是因为二者同时随时间有向上或向下的变动趋势, 并没有真正联系.这样数据中的趋势项,季节项等无法消除, 从而在残差分析中无法准确进行分析。

2.1

平稳性检验

（一）图示法

平稳性指的是期望不变，方差恒定，协方差不随时间改变，协方差只依赖于K这个时间跨度，不依赖于时间点t本身。

给定这些假设前提的目的是便于后续技术上的处理。根据时序图粗略来判断序列是否平稳，平稳时序图的特征为围绕均值不断波动，而非平稳时序图表现为在不同时间段具有不同的均值。图a为平稳时序图，图b为非平稳时序图。

然而仅依靠图像判断时间序列的平稳性，肯定是不精确的，因此需要进行单位根检验（DF检验和ADF检验）进一步判断。

（二）单位根检验

1、DF检验

（原假设 H₀：序存在单位根，即参数δ=0）

检验时间序列的平稳性，一般可通过检验带有截距项的一阶自回归模型：

对上式可通过进行普通最小二乘法的t检验完成（t检验的原假设：H₀：β_j=0。即若P值<0.05，则拒绝原假设，证明δ≠0，序列平稳。

2、ADF检验

因DF检验假设u_t为白噪声，序列为一阶自回归的模型，但实际上随机干扰项并非为白噪声序列，且序列并非为一阶自回归生成，因此用普通最小二乘法进行估计的t统计量会受到无关参数的影响，导致DF检验无效。

如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势，DF检验必须保证能够剔除这种趋势，否则时间趋势的成分会进入u_t，导致u_t非白噪声序列，进而偏离了最初的假设。因此形成了ADF检验。ADF检验是由下面3个模型完成：

其中t为时间变量，代表序列随时间变化的趋势。

模型的检验原理同DF检验，即t检验；检验顺序为（3）、（2）、（1）；三个模型全部检验通过，才能证明该序列是平稳时间序列。

2.2

时间序列常见的三种模型

序列通过平稳性检验后，就可以建立时间序列模型了，当序列不平稳时，对序列进行差分或者取对数处理。对时序数据进行差分处理，例如在R语言的“diff”函数可确定（P值<0.05，则拒绝原假设，序列不存在单位根，经1阶差分后，序列平稳）。

对一个时间序列预处理后检验出该序列为平稳时间序列说明该模型有提取信息的价值，就要进行下一步的模型建立来拟合该模型然后做出预测。下面介绍拟合时间序列的三个重要模型。

（一）AR(p)模型

自回归模型(Autoregressive model，简称AR模型)，用同一变数例如x的之前各期，亦即x₁至x_t-1来预测本期x_t的表现，并假设它们为一次线性关系。因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用x预测y，而是用x预测 x（自己）；所以叫做自回归。

AR(p)模型简记形式如下：

其中p为自回归阶数。Φ₀=0称为中心化AR(p)模型。p阶自回归模型的自相关系数拖尾，偏自相关系数p阶截尾。

（二）MA(q)模型

MA模型(moving average model)移动平均模型，简记形式如下：

其中q为移动平均的阶数。q阶移动平均模型自相关系数q阶截尾，偏自相关系数拖尾。

（三）ARMA(p,q)模型

自回归滑动平均模型(Autoregressive moving average model，简称：ARMA模型)。是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。它比AR模型法与MA模型法估计更精确，但其参数估算比较繁琐。ARMA(p,q)模型简记形式如下：