Python解一道江苏 <小升初> 数学题，如此变态，看不起来谁？

作者：小小明【江湖人称"明佬"】
链接：blog.csdn.net/as604049322/article/details/118388505
注明：本文经过作者小小明授权发布，可戳原文链接关注原文作者！

本文简介

大家好，我是黄同学🚀

前段时间，我在群里面发布了一道题。没想到明佬用心了，很快记下了，马上就用Python解答出来了。

题目如下：

小学题目都这么难，看不起谁呢。今天明佬将尝试通过Python来解题。

首先我们以左下角为原点建立直角坐标系，很快能够知道圆的方程为

两个扇形的方程分别为 和 的一部分。

上面的方程很容易得到，但要计算出方程表达式还需费一番功夫，所以下面我们打算也让Python来计算。

在解题前，我们会先用Python绘制出如下图像。

结果如下：

绘图步骤

1. 画圆

首先计算出上半圆和下半的表达式分别为：

 

  from sympy.abc import x, y
import sympy

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
display(c1)
display(c2)

 

结果如下：

如果想要展开表达式可以进行如下操作：

 
display(sympy.expand(c1))
display(sympy.expand(c2))

 

结果如下：

直接打印可以看到在Python的表达式：

 
print(str(c1))
print(str(c2))

 

 
5 - sqrt(-x*(x - 10))
sqrt(x*(10 - x)) + 5

 

因此利用上述文本，我们可以直接进行numpy的函数求值，下面尝试画个圆试一下：

 

  import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline

plt.figure(figsize=(5, 5))
x = np.linspace(0, 10, 1024)

plt.plot(x, eval(str(c1)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(c2)), color="r")

plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)

plt.show()

 

结果如下：

可以看到我们求解的两个表达式可以画出圆形。

下面我们继续来画扇形。

2. 画扇形

两个扇形的方程分别为 和 的一部分。

首先我们计算上面的扇形的函数公式：

 
sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)

 

结果如下：

 
[sqrt(x*(20 - x)), -sqrt(-x*(x - 20))]

 

显然上面的扇形的函数公式是正数，可以直接取角标为0的函数公式：

 
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s1

 

结果如下：

用同样的方法我们再求出下面的扇形：

 
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
s2

 

结果如下：

然后我们绘制函数图形验证一下：

 

  import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy

%matplotlib inline

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)

x = np.linspace(0, 10, 1024)

plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(c2)), color="r")

plt.plot(x, eval(str(s1)), color="b")
plt.plot(x, eval(str(s2)), color="b")

plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)

plt.show()

 

结果如下：

3. 绘制阴影

首先我们需要求出四个交点。

先分清几个线各是哪条：

 

  import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy

%matplotlib inline

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)

x = np.linspace(0, 10, 1024)

plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), label="c1")
plt.plot(x, eval(str(c2)), label="c2")

plt.plot(x, eval(str(s1)), label="s1")
plt.plot(x, eval(str(s2)), label="s2")

plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()

plt.show()

 

结果如下：

下面分别交出交点：

 

  from sympy.abc import x, y

x1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)
x1, x2, x3, x4

 

 
(15/4 - 5*sqrt(7)/4,
 25/4 - 5*sqrt(7)/4,
 5*sqrt(7)/4 + 15/4,
 5*sqrt(7)/4 + 25/4)

 

根据对称性，我们可以知道四个交点的坐标分别为(x1,x2), (x2,x1), (x3,x4),(x4,x3)

同样可以画图验证一下：

 

  import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy

%matplotlib inline

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)

x = np.linspace(0, 10, 1024)

plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), label="c1")
plt.plot(x, eval(str(c2)), label="c2")

plt.plot(x, eval(str(s1)), label="s1")
plt.plot(x, eval(str(s2)), label="s2")

plt.plot([x1, x2, x3, x4], [x2, x1, x4, x3], 'rx')
plt.text(x1, x2+0.1, "p1", ha="center", va="bottom")
plt.text(x2, x1+0.1, "p2", ha="center", va="bottom")
plt.text(x3, x4+0.1, "p3", ha="center", va="bottom")
plt.text(x4, x3+0.1, "p4", ha="center", va="bottom")

plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()

 

结果如下：

下面开始绘制阴影：

 

  import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy

%matplotlib inline

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0].evalf()


x = np.linspace(0, 10, 1024)
c1, c2, s1, s2 = map(lambda s: eval(str(s)), (c1, c2, s1, s2))

plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, c1, label="c1")
plt.plot(x, c2, label="c2")
plt.plot(x, s1, label="s1")
plt.plot(x, s2, label="s2")

plt.fill_between(x[x <= x1], c1[x <= x1], c2[x <= x1], color="grey")
plt.fill_between(x[(x1 < x) & (x <= x3)], s1[(x1 < x) &
                 (x <= x3)], c2[(x1 < x) & (x <= x3)], color="grey")
plt.fill_between(x[(x2 <= x) & (x <= x4)], c1[(x2 <= x) & (
    x <= x4)], s2[(x2 <= x) & (x <= x4)], color="grey")
plt.fill_between(x[x > x4], c1[x > x4], c2[x > x4], color="grey")

plt.plot([x1, x2, x3, x4], [x2, x1, x4, x3], 'rx')

plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()

 

结果如下：

然后再稍微调整一下颜色即可得到文章开头的图像。

4. 绘图完整代码

 

  import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy

%matplotlib inline

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0].evalf()


x = np.linspace(0, 10, 1024)
c1, c2, s1, s2 = map(lambda s: eval(str(s)), (c1, c2, s1, s2))

plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, c1, label="c1", color="r")
plt.plot(x, c2, label="c2", color="r")
plt.plot(x, s1, label="s1", color="b")
plt.plot(x, s2, label="s2", color="b")

plt.fill_between(x[x <= x1], c1[x <= x1], c2[x <= x1], color="grey")
plt.fill_between(x[(x1 < x) & (x <= x3)], s1[(x1 < x) &
                 (x <= x3)], c2[(x1 < x) & (x <= x3)], color="grey")
plt.fill_between(x[(x2 <= x) & (x <= x4)], c1[(x2 <= x) & (
    x <= x4)], s2[(x2 <= x) & (x <= x4)], color="grey")
plt.fill_between(x[x > x4], c1[x > x4], c2[x > x4], color="grey")

plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.show()

 

在完成图像绘制后，我们就可以通过相同的思路求积分得到面积了。

积分求解面积

最终结果完整求解代码：

 

  from sympy.abc import x, y
from sympy import integrate
import sympy

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0].evalf()

r = integrate(c2-c1, (x, 0, x1))+integrate(c2-s1, (x, x1, x3)) + \
    integrate(s2-c1, (x, x2, x4))+integrate(c2-c1, (x, x4, 10))
r.round(4)

 

结果：29.2763

如果希望得到更加精确的的结果，可以最后再调用evalf方法：

 

  from sympy.abc import x, y
from sympy import integrate
import sympy

c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[0]
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[0]
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[0]
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[0]

r = integrate(c2-c1, (x, 0, x1))+integrate(c2-s1, (x, x1, x3)) + \
    integrate(s2-c1, (x, x2, x4))+integrate(c2-c1, (x, x4, 10))
r.evalf()
 

结果：29.2762519060696

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