的美丽、 的神奇、 的神秘和 的力量
你最喜欢的数字是什么？
在本文的最后，我将揭晓我喜欢的数字，但首先，我将向大家介绍我对世界上最重要的数学常数的看法。
我们将通过逐一介绍这些常数，了解它们为何如此特别，为何具有如此重要的历史意义。我们还将讨论这些数字的一些应用。
不过，在开始之前，我们需要就数学常数的确切含义达成一致。
我对数学常数的定义就是一个不带单位的数字。一个数字。我们可以称这些为无量纲数，只是一个标识某个特定的物理量吗？而它们并非如此。
这个定义自然排除了普朗克常数和光速等著名常数！
我也没有把 0 和 1 包括在内，尽管它们肯定是数学常数，而且肯定是一些最重要的常数。但是，我们对它们的了解和理解是如此之深，所以我把它们排除在外了。
这个列表中的数字并不是唯一重要的数字。远非如此。如果您有自己喜欢的数字，请随时在评论中提出--我们一起来讨论它们！它们也没有按照任何特定的方式排序。
话不多说，让我们从数学界的超级明星开始...
圆常数：
被称为圆常数，因为它是任何圆的周长与直径之比，约为 3.14159。它广泛应用于几何、三角学和微积分中，也出现在许多其他数学学科中，如概率论、统计学和数论。
千百年来， 一直吸引着数学家、科学家和哲学家的思想和心灵，它的历史始于公元前 1900-1600 年间的古巴比伦。
巴比伦人最初将 近似为 3.125，这在当时是一个合理的估计。后来，古埃及人在公元前 1650 年左右计算出了自己的圆周率近似值。他们利用几何学知识，得出了 3.16 的数值。
这个数字的魅力和实用性一直延续到希腊。
在古希腊，伟大的数学家阿基米德在公元前 250 年左右接受了这一挑战。阿基米德利用内切圆和外切圆的多边形，巧妙地将 挤压在两个边界之间，计算出 3.1408 < π < 3.1429。人们对 π 的理解有了巨大的飞跃，阿基米德的方法为未来的数学家奠定了基础。事实上，这种多边形算法主导了 1000 多年，因此， 有时被称为 “阿基米德常数”。
随着时间的推移，人们对 的追求仍在继续。公元 5 世纪，中国数学家祖冲之改进了阿基米德的方法，将 计算到了令人印象深刻的小数点后 7 位，即 3.1415926 < π < 3.1415927。这一成就在近千年的数学汗水和泪水中始终无人能及。
在欧洲文艺复兴时期，十进制的发明和微积分的发现为常数的计算带来了突破。17 世纪，艾萨克-牛顿利用他新开发的微积分领域，将 计算到小数点后 15 位！
20 世纪，数学家们拥有了强大的机器来帮助他们寻找这个难以捉摸的数字。1949 年，约翰-扳手和列维-史密斯用一个简单的计算器将π计算到小数点后 1120 位。后来，现代计算机的发明使数学家们能够将 计算到小数点后数百万位甚至数十亿位。
我们知道， 不仅是无理数，还是一种被称为超越数的东西，这使它变得更加特殊。
如今，人们仍在继续寻找 的更多数位，因为它永无止境、不重复的十进制扩展仍然吸引着数学家和爱好者。
第一个无理数
这个被定义为解方程 的唯一 * 正 * 实数的数之所以重要，是因为它是第一个被证明为无理数的数。 约等于 1.41421。
这个故事要从公元前 6 世纪左右的古希腊数学家毕达哥拉斯及其追随者毕达哥拉斯派说起。他们认为，宇宙可以通过整数及其比率来解释，这种思想主导了他们对数学、音乐和天文学的理解。
后来，毕达哥拉斯派数学家之一、梅塔彭图姆的希帕斯有了一个惊人的发现。在研究平方数的性质时，他发现边长为 1 的正方形的对角线不能用整数的比来表示。
这意味着对角线的长度 不是有理数。这一发现威胁到毕达哥拉斯世界观的根基，在数学界引起轩然大波。根据一些资料，希帕索斯因其发现而被淹死。
希帕索斯的发现标志着数学史上的一个转折点。人们认识到有些数不能用整数的简单比率来表示，这为人们打开了一扇通往新世界的大门。在随后的几个世纪里，数学家们继续探索 以及其他无理数的性质。
此后， 成为几何、数论和代数等多个数学分支的重要组成部分。
微积分之星：
是自然对数的底数，约为 2.71828。它在微积分中非常重要，在数学的许多领域都有应用，包括数论和复分析。
有时我们称它为欧拉数，以纪念这位伟大的数学家，是他向我们展示了 的重要性。
关于 的故事，实际上是从复利这样令人兴奋的事情开始的。只是到了后来，奇妙的发现和深刻的洞察力塑造了我们对微积分、数论和其他大量数学学科的理解。
遗憾的是，我们只能在这里简单概述一下这个神奇的故事。
17 世纪初，著名数学家雅各布-伯努利正在研究复利的本质。他问自己
"如果你以 100%的年利率投资，复利次数越多，结果会怎样？”
他发现，随着复利期数的增加，资金总额会接近一个极限。这是一个有趣的数字，大约为 2.718，这也是人们第一次看到常数 。
随着时间的推移， 的神秘特性开始在其他数学分支中显现出来。18 世纪初，伟大的数学家莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）进一步探索了这个常数。
欧拉是一位多产的数学家，对数学的许多领域都有贡献，他推导出了指数函数 的公式。特别是，他找到了 的公式。他发现的和公式是:
其中 ， 。
欧拉的工作使人们发现， 具有自身导数的显著特性，这使它在求解微分方程时变得非常重要，而微分方程正是当今理论物理和工程学的基石。
微分算子的特性这一称号确保了 以及常数 在数学、物理学、生物学和许多其他科学领域无处不在。
然而， 的故事并没有就此结束。数学家们发现，它还与迷人的复数世界有着千丝万缕的联系。欧拉的开创性公式:
表明， 与三角学中最重要的函数 余弦 和 正弦 相关联，因此 与五个最重要的数学常数相关联： 方程中的 ：
这几乎就是艺术。光是欧拉的特性就能让e成为超级明星，但你还能从分析中得到所有重要的结果，从而巩固它作为世界上最重要数字之一的地位。
黄金分割率：
这个数字也被称为黄金比例，约等于 1.61803。与 、 不同，我们实际上有一个常数 √5 的封闭式公式，即:
我们的旅程再次从古希腊开始，毕达哥拉斯和他的追随者们在那里研究几何形状和比例的特性。他们发现，某些比例似乎体现了一种独特的美感，他们相信这些比例是理解宇宙的关键。
黄金分割率首次出现在公元前 300 年左右伟大数学家欧几里得的著作中。欧几里得在他那本名为《Elements》的巨著中定义了黄金比例，欧几里得首次记录的黄金比例定义如下：
当整条直线与较大的线段相等时，较大的线段与较小的线段也相等，那么这条直线就被认为是按极值和平均值的比例切割的"。
欧几里得
用现代代数的方法，我们可以写成 ，其中 和 满足 （我们假设 ），这相当于欧几里得的定义，即 “整条直线 ”是 ，大段是 ，小段是 。
上式中x的解是 ，因此 。
13 世纪初，意大利数学家莱昂纳多-斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子数量增长时偶然发现了一串数字，黄金比例的故事由此发生了有趣的转变。这个以 1、1、2、3、5、8、13 开头的数列现在被称为斐波那契数列。如果将这个数列中的两个连续数字相加，就会得到下一个数字。
但是......比如说连续数字的比率（除法）呢？
事实证明，斐波那契连续数的比值收敛于 :
从鹦鹉螺壳、向日葵到数十亿光年外的螺旋星系，许多自然设计都体现了黄金比例与自然之间的联系。
阿佩里常数： (3)
阿佩里常数约等于 1.20206，关于这个常数的故事充满了惊喜、数学智慧以及分析与数论的结合。
故事真正开始于 18 世纪，又是莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler），他研究了一个被称为zeta 函数的特殊函数，用 ζ(s) 表示。zeta函数的定义是:
其中的三个圆点和往常一样，表示这样一直延续到无穷大。
欧拉发现了这个函数的奇妙性质，包括zeta函数与素数分布之间的惊人联系。
1734 年，年轻的欧拉一举成名，他利用自己在正弦函数方面的其他一些发现，以一种最杰出的方式证明了 。
这让许多数学家大吃一惊。 在那里是什么？为什么是平方？
随后，欧拉继续前进，找到了求偶数正整数zeta函数的一般公式。
然而，没有人能找到zeta奇数值的闭式公式。这很快成为分析学界的圣杯。
20 世纪，罗杰-阿佩里（Roger Apéry）的一个惊人发现使阿佩里常数的故事发生了戏剧性的转变。1978 年，阿佩里证明ζ(3) 是一个无理数。即一个实数不能写成两个整数的分数。
这个结果，也就是现在的阿佩里定理，是出乎意料的，也是开创性的，因为在此之前，还没有针对其他奇数zeta值的类似结果。此外，我们对这个数也一无所知，所以这就像在你会爬之前就学会了以光速飞行一样！
事实上，我们不知道有多少数字或数字族是无理数。尽管无理数比有理数多。当然，两者都有无穷多，但数学家们有一些工具来测量哪些无穷多比其他无穷多。
是的，无穷大有大小之分！
我们对这个数字了解不多，对其他奇数zeta值 ζ(2n+1) 了解也不多，但最大的宝藏是以欧拉精神证明ζ(3)的闭式公式。
欧拉常数：γ
这个数字有时被称为欧拉-马舍洛尼常数，或简称欧拉常数，约等于 0.57721，在许多数学家心中有着特殊的地位。
欧拉常数的故事始于 18 世纪的莱昂哈德-欧拉，他在探索调和数列的性质时首次遇到了这个数字。调和数列是自然数的倒数之和： 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋅⋅⋅.
当时人们知道这个数列发散到无穷大，但欧拉想知道它的发散速度有多快。结果是--没那么快。事实上，和自然对数的速度差不多。
回想一下，这在某种意义上是微不足道的。
欧拉提出的问题是
"调和数列和对数在极限上有多接近？
欧拉特别注意到，数列前n项之和与自然对数 之间的差值接近一个常数，即γ：
永远充满好奇心的欧拉深入研究了这个神秘的常数，并将 γ 的值计算到了令人印象深刻的小数点后 16 位，而且发现它还出现在其他一些数学情境中。
虽然欧拉常数不像 π 和 e 那样广为人知或被广泛使用，但它也是出现在数学许多不同地方的通用常数之一。
几个世纪过去了，数学家们继续探索欧拉常数的性质和联系。他们发现，γ 出现在数论、复分析和渐近展开式中，暗示着这些数学领域之间存在着深刻的内在联系。其中的一个大明星是一个被称为伽马函数的特殊函数，记为 。
这个常数之所以对我们来说很神秘，原因之一是我们对它的了解其实并不多。我们甚至不知道它是否是无理数，也不知道它是否可以写成两个整数的分数。这就尴尬了！
如果你能证明 γ 是无理数（很可能是）或超常数，那么你的名字将永远不会被遗忘。
虚数单位：
这个奇妙的数字被定义为 -1 的平方根，它的故事是一个关于创新和大胆探索数学思想的故事，而这些思想曾被认为是被禁止的。
我们的故事开始于 16 世纪欧洲文艺复兴时期，当时数学家们正试图找到多项式方程的解。一些方程引出了神秘的负数平方根，这一概念令数学家们大惑不解，最初被认为是不可能或毫无意义的。实际上在非法的边界上。
16 世纪初，一些意大利数学家之间的竞争导致他们不择手段地 “赢得 ”数学决斗，包括使用这些 “虚数 ”作弊。
是的，他们实际上是以数学为武器进行决斗。
后来，这些数字被更认真地对待，因为它们得到了几何解释，甚至有了更多的应用。
特别是莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）和法国数学家亚伯拉罕-德-莫伊弗尔（Abraham de Moivre）在 18 世纪进一步发展了虚数单位和复数的概念。回顾一下，复数只是一个形式为 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数。
德莫伊弗尔提出了将复数与三角学联系起来的开创性定理，而欧拉则引入了表示-1平方根的符号i，并推导出了他的著名公式（在有关e的章节中提到）。
被接受为有效的数学常数，为复数的发展铺平了道路。
在接下来的几个世纪中，i不断揭示其秘密，被证明是复数分析、数论和微分方程等数学分支中不可或缺的。
在量子力学中， 在理解支配宇宙中微小事物的方程方面发挥着重要作用。
要我说，复数非常有趣的一点是，我们需要复数来理解许多实际问题。有些实际问题，没有复数我们根本无法解决。我们甚至需要复数才能通过复变函数理论来理解我们的素数。这就好像我们得到了比我们想要的更多的东西。
那么，我最喜欢的数学常数是什么呢？
我最喜欢的数学常数是 γ。我喜欢它出现在如此多的地方，尽管如此，我们对它的了解却少之又少，尽管它已经存在了几百年。证明 γ 的不合理性将是一项不朽的分析成就。
本文到此结束。希望大家喜欢。你最喜欢哪个数字？