复数无处不在。从信号处理和电路分析一直到量子力学和流体力学，虚数单位 似乎主导着工程和物理学中的大多数方程。但是，这怎么可能呢？ 一个像 这样看似任意的数字，在现实世界中没有明显的解释，怎么会如此有用呢？
虚数单位的符号是 ，对于电气工程师来说是 ，定义是负 1 的平方根。
虚数单位
但是，我们在高中时不是都学过负数的平方根是无法定义的吗？然而，为了理解它的意义，在本文中，我将要求你假装忘记你所知道的一切数学知识。我将为你提供一种看待数学科学的新方法，它使复数不仅是可取的，而且是必要的。让我们开始吧！
数学形式主义
数学形式主义是数学哲学的主要理论之一。
根据形式主义，所有数学都可以归结为操作公式的规则，而无需考虑公式的意义。形式主义者认为，数学思想的基本对象是数学符号本身，而不是赋予它们的任何意义。
大卫-希尔伯特
这是大卫-希尔伯特（David Hilbert）本人首次提出的关于数学本质的非常有趣的观点。根据形式主义，数学可以被视为一种游戏。我们有一些符号和一些操作它们的规则。利用这些操作规则，我们得出某些句法结构和真理--称为定理--由于我们自己建立的规则，上述符号是成立的。没有比这更深刻的意义了。
这一切的美妙之处在于，我们实际上可以利用我们人类发明的这个游戏--数学，来模拟我们在现实世界中遇到的各种现象。选择每次使用我们游戏中的哪些句法结构和符号来描述现实世界中的情况，往往是最困难的部分。不过，由于古今中外某些人的聪明才智，我们已经成功地涵盖了各种各样的情况。
既然到目前为止，我们的小游戏在描述世界方面似乎做得很好，那么我们就应该努力让它尽可能地发展下去。如果我们设法找到了我们的符号和规则所蕴含的所有句法真理，那么我们所要做的就是为每一个符号和规则找到一种解释，对吗？这正是形式主义者看待数学的方式，正如我们将要看到的，这种观点将澄清数学中的许多 “争议”。
负数
在我们深入研究虚数和复数之前，让我们先思考一下负数。
数学的一个重要方面就是解方程。正如我们之前所说，解方程本身并没有什么特别之处，它只是一种游戏。然而，在现实生活中的许多情况下，我们都希望找到某个未知量，例如物体的速度、传递的能量、在某个特定位置找到某个粒子的概率等，因此，我们似乎有理由在游戏中发展这一方面。
数学是一种游戏
说到数字，数学中最早引入的是正数。我们把 “1”、“2 ”或 “14.5122 ”等符号加入到我们的小游戏中，因为我们看到它们具有直接而直观的解释。它们可以用来描述各种实物的数量。一个袋子里有多少个苹果、一个老人的年龄和一个女人的身高都属于这类例子。这些符号是许多等式的解，例如下面的等式：
-
x — 20 = 5 -
6x — 3.1 = 4 -
x³+ 4 = 5
然而，正实数并不足以描述所有方程的解。考虑一下我们游戏：
-
x+ 6 = 4
用以前的逻辑规则，根本无法得出正的解决方案。但这并不妨碍我们。既然我们的游戏中没有数学实体来描述这些解，那么我们就引入一个。让我们称它们为负数，作为符号，我们将使用正数所使用的符号，但在前面加上一个负号。事实上，只需定义一个负数，其他的就很容易了。让我们把 “负单位 ”定义为-1，然后每个负数都等于正数乘以负单位。
如果实数正数可以几何地形象化为从 0 到正无穷的半线，那么负数只是这条半线向左的延伸，从 0 到负无穷。
实线
我们可以用处理正数的方法来处理负数。此外，我们还可以利用负数的定义来摆脱游戏中的一个完整运算--减法。现在，只要我们看到两个数字相减，就可以用第一个数字和第二个数字的负数相加来代替。
例如，5 - 3 与 5 + ( - 3) 相同。
我们在很小的时候就接触到了 “负数 ”的概念，因此我们认为这是理所当然的，但仔细想想，负数根本不是直观的概念。自然界中没有负数。你不能说 “那棵树上有负 5 个苹果”。负数是我们在游戏中加入的实体，目的是让游戏进化。然后，我们为它们找到了几种解释，以便在我们的现实世界中使用它们**。
这些解释是什么？例如，当我们讨论一个物体的速度时，如果答案是负数，那么我们就知道它的运动方向与我们最初假设的相反。在这种情况下，负数用来表示方向。另一个例子出现在金融领域。如果我们在计算一家企业一段时间内的总收入时，发现计算结束时出现了负数，那么这就意味着这家企业实际上正在亏损。在这种情况下，负数表示赤字。对负数还有更多的解释，但这两种解释最为突出。
负速度只表示物体朝相反方向运动
虚数和复数
如果你已经理解了我们到目前为止所说的一切，那么你已经可以预见我们将如何处理虚数的概念了。请看下面的等式:
-
x² + 1 = 0
这一次，正数和负数都不起作用了。以前没有阻止我们，所以现在也不会阻止我们。让我们在游戏中添加更多的实体。让我们定义一个新符号 ，表示负 1 的平方根。因为根据我们既定的游戏规则，这个符号可以解出上面的方程。没有更深的含义，就这么简单。
同样，虚数可以用与实数相同的代数规则进行加法和乘法运算。我们甚至可以将一个虚数与一个实数相加，得到一个所谓的复数。加法中使用的实数构成复数的 “实部”，而虚数构成 “虚部”。
复数
从几何学的角度来说，就像实数一样，我们可以用一条直线来直观地表示虚数。此外，我们还可以将虚线垂直于实线，形成复数平面，在复数平面上，每个复数都对应一个具有实坐标和虚坐标的点。
复平面
好了，我们已经成功地在游戏中加入了虚数单位的概念。是时候找到一些应用和解释了。
首先，复数在电气工程中经常使用。它们是傅里叶变换的支柱，可以帮助我们分析给定信号的频率内容。此外，在数学中，包括复数在内的拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转换为代数方程，使它们的求解变得更加简单。最后，欧拉公式直接揭示了复数与余弦和正弦之间的联系，因此，当我们要描述任何一种振荡时，都可以轻松地使用它们。
关于虚数的另一个说明是，我们可以把实数乘以虚数单位 i 视为在复数平面上逆时针旋转 90 度。
相乘是复平面内的旋转
以数字 1 为例。这个数字与正实数一起位于实数线的右侧。将 1 乘以 ，就得到了数字 ，即从初始点 1 旋转了 90 度。再乘以两次，我们又回到了起点。
虽然我们不会在本文中深入探讨薛定谔方程，但事实证明，只有通过复数这个我们看似随意引入的概念，我们才能准确地模拟在特定位置找到粒子的概率。
量子力学中的薛定谔方程包含虚数单位
虽然复数在现实世界中的直接解释有限，但其在数学中的应用却非常宝贵。复数让数学在许多场合变得更容易它们帮助我们以非常紧凑的方式描述振荡等现象。此外，它们不仅能让我们更快地解决许多问题（如微分方程），还能让我们解决仅用实数无法解决的问题。虚数 “这个名称充其量只是个遗憾，因为正如我们所看到的，它们和 ”实数 "一样真实和有用。
在本文的最后，我想回答一个问题，也许你们中的许多人现在正在思考这个问题。既然复数很有用，为什么不发明一种新的数？首先，“更多种类的数 ”有四元数和八元数，但它们远不如复数有用或应用广泛。最后 “重要 ”的数之所以是复数，是因为它们是代数封闭的。这意味着所有复数多项式方程的解都在复数集 C 中。没有一个多项式方程的解不是复数。这就是卡尔-弗里德里希-高斯证明的“代数基本定理 ”。
