连接两个平行世界的神奇桥梁
假设你正面临着一个复杂的问题或一个非常困难的问题，由于工具或知识有限而难以解决。想象一下，现在你有能力将这个问题仔细地重新表述为一个新的、更容易的问题。你不仅可以解决这个转化后的问题，还可以将它的解决方案重新转化为解决原来的、具有挑战性的问题的方案。这就是_拉普拉斯变换_的核心。
从字面上看，它是一种捷径，可以将一个问题从高等数学中减去大约 3-4 年的时间，在某些情况下，还可以将它从大学水平的问题转化为高中水平的问题。具体来说，它可以将微积分转化为代数，将一些非常困难的方程转化为不那么困难的方程。我们稍后会看到一些这方面的例子。
不为人知的是，拉普拉斯变换在纯数学中也非常有用。拉普拉斯变换主要是教给电气和机械工程师、研究物理系统或控制理论的人，但这一数学利器的作用远不止于此！
我希望你能从这篇文章中领悟到的一点是，存在两个平行世界，每当你对一个函数进行运算时，实际上是在并行地做两件不同的事情。关于这一点，我们稍后再谈。
定义、示例和属性
在继续讨论之前，我认为有必要先给它下个定义。我知道在这里可能会失去一些读者，因为一开始看起来可能有点吓人，但这一理论的美妙之处在于，“仅仅 ”理解总体原则和一些具体例子，你就能理解的更深入。因此，我鼓励读者在放弃之前多留一会儿。后面会变得容易得多。
在下文中，我将不再讨论收敛问题，因为这超出了本文的讨论范围。我将简单陈述收敛时正确的公式。我也不会过多讨论时域和复频域（有时称为 s 域），尽管这是一种经典方法。
拉普拉斯变换的定义如下：
假设有一个变量 t 的函数 f ，那么拉普拉斯变换ℒ(f)就是变量 s 的另一个函数 F ，其定义如下：
变量名背后的原因是，当从物理学角度解释这种变换时，我们将信号作为时间的函数，并以（复）频率输出信号。我们不会讨论这种对应关系到底是什么，但我可以告诉你，它与它的姊妹篇--傅立叶变换--有关。
请注意，F 并非 f 的反求，后者是某些学者的标准符号。积分上限中的无穷符号应解释为取一个极限，即:
在这里，我们顺便使用了勒霍皮塔法则，但你不需要理解它就能跟上进度--只需注意当 时， 。利用上述技巧，我们可以更简单地发现，当 时， 。
从现在起，我们将不再像上面那样精确。我鼓励读者把本文中未经证实的结果当作练习。让我们看看时域指数乘法在 “平行 ”世界中是什么样的。
因此，乘以指数函数可以将参数移到 s 域。这个结果比看上去要强，在文献中被反复使用。
一个重要的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说，我们有:
同样，我们也可以对三角函数进行变换。例如，在对函数 进行拉普拉斯变换时，我们要多次使用分式积分，并求解一个方程。当一切尘埃落定时，我们会得到以下非常有用的结果：
拉普拉斯变换具有一些非常有用的性质。最基本也是某种意义上最重要的特性是，它是一个线性算子，这意味着以下条件始终成立：
其中 F 和 G 分别是 f 和 g 的拉普拉斯变换。
另一个极其重要的特性是，拉普拉斯变换是一一对应的映射，这意味着它有唯一的逆变换。也就是说，我们在一个世界中做的任何事情，在另一个世界中都有平行的作用。
技术读者：
关于这一点的细节有点技术性，不在本文讨论范围之内。对于感兴趣的读者，我可以说，只有当两个可积分函数在勒贝格度量为零的集合上不同时，它们才具有相同的拉普拉斯变换，而反变换的精确公式需要复杂积分理论（等值线积分）。
用拉普拉斯变换证明 "世界上最美的方程”
下面这个结果被称为数学史上最美丽的结果。这是莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）的功劳，他向我们证明了指数函数与三角函数的关系：
其中 具有 的性质。
通常，我们通过展开指数函数的无穷幂级数和使用无穷版分配律等方法来证明这一点。不过，这需要一些技术性的论证，而许多作者为了简单起见，并不考虑这些论证。
不为人知的是，我们可以用拉普拉斯变换来证明欧拉的上述结果。
现在我们可以对两边进行反拉普拉斯变换，得到:
其中我们使用了反变换的线性。我们将上述函数视为三角函数余弦和正弦：
如约而至。
从微积分到代数，再回到微积分
拉普拉斯变换所具有的最强特性之一，就是它能将导数转化为多项式。具体来说，我们有
即在 s 域中乘以 s 相当于在时间空间中进行微分。我们还有更高级的类似方法。例如
这种模式会一直持续下去。同样，除以 s 相当于时域积分。
这些公式看似简单，但却能将微分方程转化为多项式方程，从而更容易求解。在某些情况下，它们甚至能将偏微分方程转化为常微分方程。
Example
假设我们想求解微分方程：
初始条件为 和 。我们对两边进行拉普拉斯变换。
代入初始条件并分离出 F（s），我们得到：
让我们在此稍作停顿，欣赏几件事。首先，复杂的方程变成了简单的函数定义！其次，初始条件被自然地编码到 s 域的解中，因此不再需要几个额外的条件，而是将它们全部整合到一个方程中。
现在，我们只需对两边进行反拉普拉斯变换，即可求出 f。在实践中，我们经常使用部分分数分解法，但也可以使用公式:
这仅仅是拉普拉斯变换在 DE 中富有成效应用的开始，但遗憾的是，本文不会对此进行更详细的介绍。
更高级、更奇特的用例
在 域中乘以 相当于微分，除以 s 相当于积分，这只是更普遍对应关系的特殊例子。
卷积
s 域中两个函数 F 和 G 的乘积定义了时域中两个函数 f 和 g 的运算，称为卷积，表示为 f * g。根据维基百科：
卷积的应用领域包括概率论、统计学、声学、光谱学、信号处理和图像处理、地球物理学、工程学、物理学、计算机视觉和微分方程。
正实数上的积分和狄利克特积分
拉普拉斯变换的一个非常有用的性质如下：
让我们在一个臭名昭著的难题上试试我们的公式，这个难题就是狄利克特积分。问题要求求出以下内容：
这是一个强大积分技术的 “你好世界”。我们有:
利用 _的反三次方是 ，我们得到:
拉普拉斯数列
我一直期待着与大家分享以下内容。 一如既往，我们假设所有一般级数和积分都收敛。
假设我们有一个周期为 的周期函数 ，傅里叶级数为:
那么我们就可以通过线性得到 f 的拉普拉斯变换序列：
如果 ，则上式简化为:
其中 和 分别是偶数和奇数傅里叶系数。
我不知道它是否有名字，因为我以前从未见过，所以我称之为拉普拉斯级数。如果它已经有名字了，请告诉我。
让我们试着把它应用到一个例子中。让 在 区间内，然后周期性地延长。函数的图形如下：
该函数的傅立叶级数为:
我们知道，除了在_t∈2πℤ_处的不连续点外，这个函数与上面定义的锯齿函数完全相同，在_t∈2πℤ_处它正好等于_π_。
在使用我们的公式之前，我经历了手工计算 的拉普拉斯变换的痛苦过程。对无穷级数的积分求和后，我们得到:
由于 f 的傅里叶级数只在度量为 0 的集合上与 f 有差异，我们知道上述结果与 f 的拉普拉斯级数完全相等。也就是说:
其本质是，即使是傅里叶级数，在 s 域中也有一个平行级数。这意味着每个（相对良好的）周期函数在时域中都有一个傅里叶级数，在复频域中都有一个拉普拉斯级数。
不过，我们需要小心一点，因为拉普拉斯变换只对正实数上的函数进行变换。它对负轴上的函数一无所知。
这一理论打开了解析数论领域的大门，在这一领域，像左手边这样的数列是非常重要的研究对象。
注意，告诉大家一个几乎与转变本身同样强大的原则。也就是说，我们都走在通往理解的相同道路上。有些人比其他人走得更远，但我们都迈出了第一步，走在同一条道路上，在这个过程中可能会磕磕绊绊无数次。