我们来处理这最后一篇，也是从傅里叶级数到傅里叶变换这关键一步的飞跃。我将重点阐述这一转变背后的核心思想，并用更具启发性的方式来组织和扩充推导过程，使其不仅在数学上正确，在逻辑上也更清晰和富有洞察力。
傅里叶变换101 — 第三部分：傅里叶变换的诞生
前言
在前两部分中，我们从实数傅里叶级数开始，最终深入到了更简洁、更统一的复数傅里叶级数，掌握了分析周期信号的基本思想。
现在，我们将迈出决定性的一步，将我们的工具箱从周期信号的世界扩展到更广阔的非周期信号世界。这正是傅里叶变换（Fourier Transform）的舞台。
站在巨人的肩膀上：从傅里叶级数看傅里叶变换
在正式定义傅里叶变换之前，我们先来回顾一下已经熟悉的复数傅里叶级数（Complex Fourier Series），并以此为基石来理解它们之间的深刻联系。
对于一个周期信号 ，我们有：
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时域 → 频域（分析过程）：计算离散的频谱系数 -
频域 → 时域（合成过程）：用频谱系数 重构时域信号
傅里叶变换与傅里叶级数在本质上是做同样的事情——在时域和频域之间进行转换。下表可以直观地展示它们之间的对应关系（你将在几分钟内学到傅里叶变换的公式）：
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时域 → 频域 (分析) | 频域 → 时域 (合成) |
|---|---|---|
| 傅里叶级数 (FS) | ||
| 傅里叶变换 (FT) |
现在，让我们从一个更高的维度来审视这个表格，关注每个公式背后隐藏的信号特性。我们从两个维度来分析：连续/离散 和 周期/非周期。
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时域 → 频域 (左上角)：傅里叶级数的分析公式。我们处理的是连续的时间信号 ，但积分区间是有限的周期 ，因此它隐含了周期性的假设。 -
频域 → 时域 (右上角)：傅里叶级数的合成公式。我们用求和符号 来叠加信号，这意味着我们处理的频谱是离散的（只在基频 的整数倍上有值）。
将这些特性填入表格中，我们得到：
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时域 → 频域 (分析) | 频域 → 时域 (合成) |
|---|---|---|
| 傅里叶级数 (FS) |
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| 傅里叶变换 (FT) |
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傅里叶分析的“四象限”
这个视角给了我们一个非常强大的框架来理解傅里叶分析的整个家族。实际上，根据信号在时域和频域是连续还是离散，是周期还是非周期，我们可以构建一个 2x2 的矩阵，它囊括了四种主要的傅里叶分析工具：
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|---|---|---|
| 连续 & 周期 | 离散 & 非周期 | 傅里叶级数 (FS) |
| 连续 & 非周期 | 连续 & 非周期 | (连续时间)傅里叶变换 (FT) |
| 离散 & 周期 | 离散 & 周期 | 离散傅里叶变换 (DFT) |
| 离散 & 非周期 | 连续 & 周期 | 离散时间傅里叶变换 (DTFT) |
这个框架清晰地回答了一个常见的问题：“为什么有这么多名字带‘傅里叶’的变换？” 答案是：因为我们需要用合适的数学工具来处理不同性质的信号。 每一种变换都是为了解决特定类型信号的分析问题而生的。
今天，我们的任务就是完成从第一行到第二行的跨越：从为连续周期信号服务的傅里叶级数，推导出为连续非周期信号服务的傅里叶变换。
傅里叶变换的推导：当周期 T → ∞
如何从一个周期信号得到一个非周期信号？一个绝妙的数学思想是：假设一个信号的周期 T 趋向于无穷大。
想象一下，一个重复的波形，如果它的重复间隔（周期）变得无限长，那么在我们有限的观察范围内，它就相当于只出现了一次，再也没有重复。这样，一个周期信号就“演变”成了一个非周期信号。
这个思想正是我们从傅里叶级数推导傅里叶变换的钥匙。
第一步：回顾与准备
我们从复数傅里叶级数的两个核心公式出发：
并且我们知道基频 。
第二步：观察极限行为
当我们将周期 时，会发生什么？
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基频 。这意味着频域上原本离散的频率点（ ）之间的间隔会越来越小，最终从离散的谱线变成了连续的频谱。 -
频率变量 不再是离散的跳跃值，我们可以将其视为一个连续的频率变量，记为 。
第三步：推导傅里叶变换（正变换）
让我们聚焦于分析公式。将 乘到左边：
现在，我们取极限 ：
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积分的上下限从 变为 。 -
变为连续变量 。
我们定义一个新的函数，它代表了信号在频域的频谱密度，记为 ：
这个公式就是傅里叶变换 (Fourier Transform)！它将一个时域信号 转换为一个频域函数 。这里的 是一个复数，它同时包含了频率 处的振幅和相位信息。
第四步：推导逆傅里叶变换
现在我们有了 和 的关系，我们再来处理合成公式，看看如何从频域返回时域。
从上一步我们知道，当 很大时， 。同时， 。代入合成公式：
这个形式非常像一个黎曼和。当 时， (一个无穷小的频率间隔)，而求和 就变成了积分 。
这个极限就定义了积分：
这就是**逆傅里叶变换 (Inverse Fourier Transform)**！它允许我们用连续的频谱函数 来重构原始的时域信号 。
总结
我们成功地完成了从傅里叶级数到傅里叶变换的推导。这“一对”公式构成了连续时间傅里叶分析的核心：
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傅里叶变换 (FT) (时域 → 频域) -
逆傅里叶变换 (IFT) (频域 → 时域)
通过让周期 趋于无穷，我们不仅将分析工具从周期信号推广到了非周期信号，也深刻地理解了离散频谱（谱线）是如何演变为连续频谱（频谱密度）的。这是信号处理领域一个里程碑式的跃迁。