我最推崇的教学路径，也是现代线性代数教学思想的精髓：将“矩阵”作为“线性变换”的载体来引入，而不是作为解方程组的记录工具（某些大神为了记录天体物理，省略了 和等号）。
这种方式能让我们从一开始就建立起矩阵与空间运动之间的直观联系，这比从方程组引入要深刻得多。下面，我们就沿着这条自然、优雅的路径来引入矩阵，矩阵它不是将方程组的系数放在一起组成的方块，那么僵硬、那么没头没脑。
本文是线性代数的核心知识，读完会对线性代数的理解上一个档次，我敢保证！
线性代数的核心思想：从对单个“向量”的研究，过渡到研究向量“运动”和“变换”的规律。
简单来说，引入矩阵与向量的乘法，其最核心的想法是：
将“线性变换”（Linear Transformation）这个抽象的“动作”或“函数”，用一个具体的数学对象——“矩阵”——来表示和计算。
在第一章，我们认识了线性代数的“基本单位”——向量，以及它们构建的“舞台”——向量空间。我们学会了如何描述它们、测量它们、以及如何对它们进行基本的运算（加法、数乘、点积、叉积）。
但到目前为止，我们的世界还是静态的。向量们只是静静地待在空间里。
现在，我们要让整个世界“动”起来。我们想对空间进行一次“重塑”——比如旋转、拉伸、或者拍扁它。这种作用于整个空间的、有组织的运动，就是线性变换。
我们已经通过动画直观地感受了什么是线性变换（保持网格线平行且等距，原点不动）。但现在，我们面临一个核心的工程问题：
“我该如何用一种简洁、精确的数学语言，来向计算机或另一个人描述一次复杂的空间变换呢？”
我不能只说“把空间逆时针旋转90度”。我需要一种数字化的“说明书”，它能完全封装这次变换的所有信息。
这个“说明书”，就是矩阵 (Matrix)。
下面我们来分步拆解这个想法的诞生过程。
1. 从向量空间到线性变换：我们需要一种新的“函数”
我们已经有了向量空间，里面有向量，并且我们知道如何对它们进行两种基本操作（线性组合）：
-
向量加法： -
标量乘法：
现在，我们想对这个空间里的向量做一些“操作”，或者说“变换”。想象一下，把平面上的所有向量都进行旋转、拉伸、投影等操作。这些操作就是一种函数，我们称之为变换（Transformation），它接收一个输入向量，然后给出一个输出向量。
但是，我们不关心所有的变换，只关心那些与向量空间结构“兼容”的变换。什么样的变换是“兼容”的呢？就是那些保持线性组合结构的变换。我们称之为线性变换。
一个变换 是线性的，如果它满足以下两个条件（这正是您熟悉的线性要求）：
-
保持加法： （变换两个向量的和，等于先分别变换它们再相加） -
保持数乘： （变换一个向量的倍数，等于先变换它再乘以同样的倍数）
这个规则非常强大。它要求如果你知道基向量（比如二维空间中的 和 ）经过变换后去了哪里，你就能知道空间中任何一个向量变换后的位置。