当函数遇见矩阵：将三角学与线性代数融为一体
数学家们热衷于将既有的思想进行推广——有时，这种对概念的抽象看似脱离了现实世界的应用。然而，历史一再证明，这些推广往往会演变成科学与工程领域中极其强大的工具。在本文中，我们将探索一个正是如此天马行空的思想，它将古老的三角学与现代的矩阵代数联系在了一起。
虽然本文的主题看似与数据科学或人工智能没有直接关联，但其中所涵盖的数学技巧，如泰勒展开、特征值分解等，都与该领域的核心算法息息相关。
一个简单而深刻的问题
我们面临的宏大问题很简单：我们习惯于将普通的数字（实数）代入像正弦、余弦、指数这样的函数中并获得结果。那么，我们能否将这些函数的作用范围，从简单的实数扩展到更复杂的数学对象上——比如复数，甚至是矩阵？
初看起来，这似乎只是一种纯粹的理论好奇。
然而，矩阵函数在物理学和工程学中扮演着至关重要的角色。它们自然而然地出现在经典力学中对耦合振荡的研究，以及对量子力学系统的探索中。在控制理论——一个在机器人学领域被广泛应用的数学分支中，矩阵函数更是不可或缺的核心工具。
与数据科学的隐秘联系
在数据科学和机器学习中，虽然我们不常直接计算 ，但其背后的思想却无处不在。例如：
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指数函数：当我们计算矩阵指数 时，其应用遍及马尔可夫链的稳态分析、解线性微分方程组（这在模拟动态系统中很常见），以及在李群理论（用于机器人学和3D视觉）中描述连续变换。 -
对数函数：矩阵对数 则是指数的逆运算，常用于从一个变换矩阵中提取其底层的“生成元”或“瞬时变化率”。
在本文中，我们将主要聚焦于一个特别具有启发性的案例：如何将三角函数应用于矩阵。通过解决这个问题，我们将揭示一套通用的、可将任何“表现良好”的函数应用于矩阵的强大方法。
从变量函数到矩阵函数：一座由级数搭建的桥梁
第一步：从实数到复数
让我们从推广正弦函数开始。当我们计算一个角度的正弦值时，这个角度通常是一个实数，其结果在 -1 到 1 之间。
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含义：这部分是公式的核心，它定义了正弦函数的值域（Range）。它告诉我们，无论输入的自变量 是什么，其正弦值 的结果永远被限制在 -1 和 1 这两个数之间（包含 -1 和 1 本身）。 -
几何理解：这个性质源于正弦函数在单位圆上的定义。在单位圆上，任意一个角度 所对应的点，其 y 坐标就是 。由于单位圆的半径为1，其上所有点的 y 坐标的最大值是 1（在90°处），最小值是 -1（在270°处）。因此， 的值域自然就被限定在了 这个闭区间内。 -
函数图像：如果我们画出正弦函数的图像，它是一条在 和 这两条水平线之间无限波动的曲线，其波峰为1，波谷为-1，也直观地证实了这一点。 
推广x的范围
一个自然的扩展是去问：当我们计算一个复数的正弦值时，会发生什么？
事实证明，只要我们采用一个更通用的、基于欧拉公式的正弦定义，这种计算是完全可能的：
其中， 是输入的复数。这个定义将正弦函数从几何领域（单位圆上的y坐标）解放出来，使其成为一个纯粹的代数构造，从而可以应用到更广泛的数学对象上。
利用这个定义，我们可以做一个有趣的小练习，来证明以下这个著名的恒等式：
这个结果自然也是一个复数（具体来说，是一个纯虚数）。
证明
这个证明过程完美地展示了复数域中三角函数与双曲函数之间的深刻联系。
第1步：代入定义
我们将 代入复正弦的定义式 (1) 中：
由于 ，上式变为：
第2步：引入双曲正弦的定义
现在，我们回顾一下双曲正弦函数 的定义：
双曲函数在几何上与双曲线相关，就像三角函数与圆相关一样。它们在物理学和工程学（如悬链线、相对论）中非常重要。
第3步：建立联系
我们来比较一下我们在第1步得到的结果和 的定义式。
我们发现，分子 与 的分子非常相似。将式子 (2) 中 代入，我们有 。
因此，我们可以将 的表达式改写为：
第4步：化简
为了将分母中的 移到分子上，我们可以在分子和分母上同时乘以 ：
再次使用 ：