理解伴随矩阵--2. 代数余子式的几何意义

我们通常只把代数余子式看作一个计算行列式的中间数字，但如果我们给它赋予几何意义，整个伴随矩阵和逆矩阵的图像就会瞬间清晰起来。

让我们聚焦于一个   矩阵  。

代数余子式   的几何定义

简单来说，代数余子式   就是将矩阵中“除了第   列以外”的其余两个向量，投影到与“第   个基向量”垂直的平面上之后，所张成的有向面积。

这个定义听起来有点拗口，让我们用具体的例子来拆解它。

案例：剖析 

代数定义：

几何拆解：

1. 主角是谁？ 去掉第一行第一列，剩下的元素全部来自向量   和  。
2. 投影到哪里？ 剩下的元素是   分量（第二行）和   分量（第三行）。这相当于把   和  投影到了   平面上。
• 投影向量 
• 投影向量 
3. 面积是什么？ 行列式的值，正是这两个投影向量在   平面上张成的平行四边形的有向面积

结论：  是   和   在   轴（即  ）的正交平面上的投影面积。

更宏大的视角：与叉积的联系