我们已经用秩 (Rank) 丈量了变换的“维度”，用行列式 (Determinant) 度量了变换的“体积”。现在，我们将探索第三个、也是最微妙的一个核心标量——**迹 (Trace)**。
如果说行列式是变换完成后的“最终成果”，那么迹，更像是驱动这次变换的“内在倾向”。
迹 (Trace)：线性变换的“扩张倾向”
第一幕：一个极其简单的定义
迹的定义，在代数上非常简洁：
对于一个方阵 ，它的迹，就是其主对角线上所有元素的和。
例子： 对于矩阵 ，它的迹是 。
看到这个定义，我们心中的第一个疑问必然是：为什么是主对角线？ 这条线上元素的和，凭什么能代表一个变换的深刻属性？它看起来如此随意，仿佛只是一个计算游戏。
要回答这个问题，我们必须深入到它的几何与物理内涵中去。
第二幕：几何的灵魂 —— “瞬时”的体积变化率
让我们从一个动态的、连续的视角来理解变换。想象一个微小的单位正方形，它在一次由矩阵 驱动的变换中，随着时间的推移（从 到 ）逐渐变形。
-
行列式 告诉我们这个正方形最终的面积变成了多少倍。这是一个全局的、终点的度量。 -
迹 则描述了一个更精妙的过程：在变换刚刚开始的那一瞬间 ( )，这个正方形的面积膨胀或收缩的速率是多少？
一个具体的案例：考虑一个变换 。这是一个简单的缩放变换。
-
。最终面积变为6倍。 -
。
这个“5”代表什么？
-
在变换的初始瞬间， 方向的边长以 2 的速率在拉伸。 -
方向的边长以 3 的速率在拉伸。 -
一个边长为 的矩形面积约为 。面积的瞬时变化率，正是对角线元素之和！
深刻的见解：
迹，是线性变换在各个“基向量”方向上“速度分量”的总和。它衡量了变换在初始瞬间，倾向于让空间“膨胀”（迹为正）还是“收缩”（迹为负）的总体趋势。
如果把行列式比作“位移”，那么迹就更像是“速度”。